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無限級数の簡単な極限なのですが

無限級数の簡単な極限問題なのですが・・・ 高３です。 正の数a,bに対し、Σ[n＝1～∞]a^(n^2)*b^nの収束・発散を調べよ。 という問題です。 私は場合分けをして a＝1かつ0＜b＜1、または0＜a＜1かつb＞0で収束、 a＝1かつb＞1、またはa＞1かつb＞0で発散 と出ました。大昔の高校の参考書にあった問題で、答えが無いので、数学の得意な方々の答えを聞いて合っているかどうか確かめたくて質問しました。 間違いかなと思われたら指摘していただけませんか。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)
回答No.1

ほぼ合ってますが、a=1,b=1の場合が抜けてます。 a＜1　または　a＝1,b＜1　で収束 a＞1　または　a＝1,b≧1　で発散 正の数a,bという条件なので、a＞0、b＞0　はなくてもいいです。

astex24
質問者

お礼

確かにそれを忘れておりました。 質問して良かったです。スッキリしました。 ありがとうございました。

その他の回答 (2)

  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)
回答No.3

＃２さんの回答は、 a^(n^2)　を　a^(2n)　と勘違いされているようですので気にしなくてもいいです。

  • LightOKOK
  • ベストアンサー率35% (21/60)
回答No.2

a=4,b=1/32 のときどうなりますか？ 収束条件は、|(a^2)*b|<1 a^2=s とおき、s-b平面で考えてみると良いと思います。

astex24
質問者

お礼

2nとして考えてみるとそのようになるのですね。 参考になりましたありがとうございました。

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