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不等式の問題
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- hesaid
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NO.3です。数直線2本並べて以下のように論証することもできそうです。 積和が最大値を得るときのxiのペアをyj（i,j=1,2…,n、i≠j）と仮定する。 xiとyjのペアを線で結ぶ。 少なくとも1つ、この線を跨ぐ線で結ばれるペアが存在が存在する。これらをxp,yq（p,q=1,2…,n、p≠i、q≠j）とする。 ペアを入れ替えると、xi・yj + xp・yq ＜ xi・yq + xp・yj となり、当初のペア時に積和が最大値を得ることに矛盾。 よって、i=jであることが必要。 ＜以下略＞
- hesaid
- ベストアンサー率39% (51/130)
大筋だけ。。。 まず、x1,x2…,xnを数直線上に並べる。 その真下に、y1,y2…,ynを数直線上に並べる。 x1の積のペアをyi（i≠1）、y1の積のペアをxj（j≠1）とした場合、 x1・yi + xj・y1 ＜ x1・y1 + xj・yi（理由はNO.2様の回答ご参照。ペア同士を線で結んだとき、クロスしているものがあれば、ペアを入れ替えることにより積和は大きくなるということ。） このことから、xとyの積和が最大値を得る為には、x1との積のペアはy1であることが必要であることがわかる。 同様の議論を繰り返していくことにより、 x2のペアはy2、x3のペアはy3…、xnのペアはynであることを要す。…1) ここで、xとyの積のペアはn!通りと有限であるから、その中から最大値が存在することは明らか。…2) 1)2)の考察から、 Σ（xk・zk）の最大値は、Σ（xk・yk）に他ならない。
- nag0720
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Z=Σ(k=1～n)xk・zk ただし、x1>x2>・・・・>xn、zp<zq (p<q) zpとzqを交換したzkをykとする。 つまり、yp=zq、yq=zp、yk=zk (k≠p,q) Y=Σ(k=1～n)xk・yk とすると、 Y-Z=Σ(k=1～n)xk(yk-zk) =xp(yp-zp)+xq(yq-zq) =xp(zq-zp)+xq(zp-zq) =(xp-xq)(zq-zp)>0 これから言えることは、zp<zq (p<q)のとき、この２つを交換すると、Z=Σ(k=1～n)xk・zkは大きくなる。 zp<zq(p<q)となる２つ要素を交換していくと、最終的にはzkは降順にソートされることになる。 よって、Σ(k=1～n)xk・yk は y1>y2>・・・・>yn のとき、ykを任意に並べ替えたものの中で最大になる。 こんな証明ではだめでしょうか。
- ItachiMasamune
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1987年の東大、理科前期大問5と同じ問題です。 一見問題は違いますが、両辺の2乗を展開し、Σyk^2＝Σzk^2ですので同じ問題です。 数学的帰納法で示します。 (1)n=2のとき、 (ア)y_1=z_1,y_2=z_2のときは明らか。 (イ)y_1=z_2,y_2=z_1のとき Σ(k=1～2)x_k・y_k-Σ(k=1～2)x_k・z_k=(x_1-x_2)(y_1-y_2)≧0 (2)n=iのとき成り立つと仮定する。 (a)y_(i+1)=z_(i+1)のとき 省略 よってn=i+1のときも成り立つ。 (b)z_m=y_(i+1) (m≠i+1)のとき Σ(k=1～i+1)x_k・z_k = x_1z_1 + … + x_mz_m + … + x_iz_i + x_(i+1)z_(i+1) =x_1z_1 + … + x_mz_(i+1) + … + x_iz_i + x_(i+1)z_(i+1) - x_mz_(i+1) + x_mz_m (前半のx_1z_1+…+x_mz_(i+1)+…x_iz_iに現れるzはyの1～iに対応している) ≦Σ(k=1～i)x_k・y_k + x_(i+1)z_(i+1) - x_mz_(i+1) + x_mz_m ≦Σ(k=1～i)x_k・y_k + x_(i+1)y_(i+1) - x_(i+1)y_(i+1) + x_(i+1)z_(i+1) - x_mz_(i+1) + x_mz_m ≦Σ(k=1～i+1)x_k・y_k - x_(i+1)y_(i+1) + x_(i+1)z_(i+1) - x_mz_(i+1) + x_mz_m ≦Σ(k=1～i+1)x_k・y_k - x_(i+1)z_m + x_(i+1)z_(i+1) - x_mz_(i+1) + x_mz_(i+1) ≦Σ(k=1～i+1)x_k・y_k + (x_m - x_(i+1))・(z_m - z_(i+1)) ≦Σ(k=1～i+1)x_k・y_k よってn=i+1のときも成り立つ
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