極座標の面積

質問

積分の応用の問題で、ある曲線と二つの半直線で囲まれた図形の面積を求める問題なのですが
(1)r=2a sinθ　:θ=π/2 θ=π
(2)r=e^θ　　:θ=0 θ=π
の二つの問題なのですがよくわかりません。
”極座標による図形の面積”の公式に入れるわけなのですがrの二乗をするところが(2)はよくわからないです。θの二乗ってどうやるんですか？？(1)はどう二乗すればいいのでしょう？
あと、図形の形が場合によっては二つになって２をかけるときがあるのですが、この場合２をかけるのは(2)だけでいいのですよね？？

長くなりましたが教えてください。

回答No.4

mmky · ベストアンサー

追伸と訂正まで。
#3のgrothendieckさんのご指摘がありましたが、そのとおりですね。書き間違いの上で間違いを重ねていましたね。ごめん。
#3のgrothendieckさんの回答があっています。
正しい修正：
(1/2)∫[π/2→π]r＾2dθ
=(1/2)∫[π/2→π]4a＾2sin＾2θdθ
=∫[π/2→π]a＾2(1－cos2θ)dθ
=a＾2(θ-sin2θ/2)|[π/2→π]　←ここで書き間違いでしたね。cos2θ→sin2θ ですね。
=a＾2{(π-sin2π/2)－(π/2-sinπ/2)
=a＾2(π/2)
になるのが正しいですね。
追伸とお詫びまで
参考に
(sinx)'=cosx
だから両辺積分（定積分の場合）すると
∫(sinx)'dx=sinx=∫cosx dx
∫cosx dx=sinx
同様に
(cosx)'=-sinx
∫(cosx)'dx=cosx=∫-sinx dx
∫sinx dx=-cosx
ですね。
∫sinmx dx=-(1/m)cosx
∫cosmx dx=(1/m)sinx

お礼

もう感謝しても感謝しきれないですね。
こんなに何度も訂正してくれたり回答してくれる人にあったのは初めてです。感激です！！！！
これからもう一度mmkyさんの教えてくれたやり方で解いてみて納得の行くようにしたいと思います！！！！
本当っっにありがとうございました！！！！！！

回答No.3

grothendieck

(1)について
S=∫[π/2→π]dθ∫[0→2a sinθ]rdr
=(1/2)∫[π/2→π]dθ(4a^2*(sinθ)^2)
=a^2∫[π/2→π]dθ(1-cos2θ)
=a^2(θ-(1/2)sin2θ)|[π/2→π]
=(π/2)a^2
だと思います。シェアウェアで数式処理プログラムmathmediaがありますのでそういったもので検算されるのも良いでしょう

お礼

おっと！！よく考えてみるとそうなるのですね！！
ありがとうございます！！！！シェアウェアですか。あったらそれで検算したいですねぇ。あいにくうちにはないですけど。。。

回答No.2

mmky

修正まで
=a＾2{(π+(cos2π)/2)－(π/2+(cosπ)/2)
=a＾2{(π+1/2)－((π/2)-1/2)}
=a＾2{(π/2)+1}
cosπ＝-1
でしたね。ごめん。修正しておきます。

お礼

修正まで！！！！ホント、親切にありがとうございます！！教科書の答えと微妙に違うなぁとは思っていたのですがわざわざまた回答してくれるとは思っていませんでした！！
感謝感謝です！！ありがとうございました！！

回答No.1

mmky

参考程度に

(1)r=2a sinθ　:θ=π/2 θ=π
r＾2=4a＾2sin＾2θ
(1/2)∫[π/2→π]r＾2dθ
=(1/2)∫[π/2→π]4a＾2sin＾2θdθ
{(1/2)(1－cos2θ)=(1/2){1－(cos＾2θ－sin＾2θ)}
=sin＾ 2θ　：cos＾2θ＋sin＾2θ＝１}
=∫[π/2→π]a＾2(1－cos2θ)dθ
=a＾2(θ+cos2θ/2)|[π/2→π]
=a＾2{(π+cos2π/2)－(π/2+cosπ/2)
=a＾2{(π+1/2)－(π/2)}
=a＾2(π/2+1/2)

(2)r=e^θ　　:θ=0 θ=π
r＾2=(e^θ)＾2=e^2θ　
｛参考：2＾2*2＾2=2＾2*2=2＾4｝
(1/2)∫[0→π]r＾2dθ=(1/2)∫[0→π] e^2θ dθ
=(1/4)e^2θ|[0→π]
=(1/4)(e^2π－１)
考え方のみです。数値や式は確認してくださいね。
それから関数が周期関数の場合は積分区間を分けて考えることができる場合がありますね。

お礼

わざわざ数式書いていただいてありがとうございます！！
もう一問ある問題は解けたのですが、急に解けなくなってしまって・・・。e^θがよくわからなかったのでそれが解決して本当に良かったです。
ありがとうございました。機会があったらまたよろしくお願い致します！！！！