微分の仕方

質問

次の関数の微分の仕方を教えてください。
　X/（X^2＋X＋1）＾2

回答No.3

noname#111804

X/（X^2＋X＋1）＾2の微分

商の微分の公式より

１・（X^2＋X＋1）＾2-X・２（X^2+X+1)（２X＋１）
-----------------------------------------------
（X^2＋X＋1）＾４

＝（X^2＋X＋1）－２X（２X+1)
　　--------------------------
（X^2＋X＋1）＾３

＝ －３X＾２－X
　 ----------------
（X^2＋X＋1）＾３

回答No.2

sanori

こんばんは。

分数になっていますから、商の微分の公式を使います。
（Ｎｏ．１の方がおっしゃっている方法も、本質的には同じです。）

商の微分の公式とは・・・
（ｆ／ｇ）’　＝　（ｆ’ｇ　－　ｆｇ’）／ｇ^2

ここで、
ｆ＝ｘ　　・・・（あ）
ｇ＝（ｘ^2＋ｘ＋１）^2　　・・・（い）
と考えればよいわけです。

まず、ｆの微分は簡単で
ｆ’＝　１　　・・・（う）
ですね。

ｇ’は、ちょっとだけ面倒ですね。
合成関数の微分です。
ｔ　＝　ｘ^2＋ｘ＋１　と置けば、ｇ＝ｔ^2　なので
ｄｇ／ｄｔ　＝　２ｔ
そして、
ｄｔ／ｄｔ　＝　（ｘ^2＋ｘ＋１）’　＝　２ｘ＋１
よって、
ｇ’＝　ｄｇ／ｄｘ　＝　ｄｇ／ｄｔ・ｄｔ／ｄｘ
　＝　２ｔ・（２ｘ＋１）
　＝　２（ｘ^2＋ｘ＋１）（２ｘ＋１）　　・・・（え）

あとは、（あ）～（え）を、商の微分公式にぶち込むだけです。

（ｆ／ｇ）’　＝　（ｆ’ｇ　－　ｆｇ’）／ｇ^2
ｆ＝ｘ　　・・・（あ）
ｇ＝（ｘ^2＋ｘ＋１）^2　　・・・（い）
ｆ’＝　１　　・・・（う）
ｇ’＝　２（ｘ^2＋ｘ＋１）（２ｘ＋１）　　・・・（え）

｛ｘ／（ｘ^2＋ｘ＋１）^2｝’
　＝　｛１・（ｘ^2＋ｘ＋１）^2　－　ｘ・２（ｘ^2＋ｘ＋１）（２ｘ＋１）｝／（ｘ^2＋ｘ＋１）^4
　＝　｛（ｘ^2＋ｘ＋１）^2　－　２ｘ（ｘ^2＋ｘ＋１）（２ｘ＋１）｝／（ｘ^2＋ｘ＋１）^4

とりあえず、分子と分母が、ｘ^2＋ｘ＋１　で１回だけ約分できますね。

以上、ご参考になりましたら幸いです。

なお、私は計算ミスを時々やるので、検算してください。

回答No.1

info22

単に積の微分の公式を使って微分し、分母を共通にするために通分して式を整理するだけ。

X*(x^2+X+1)^(-2)
に
公式
(AB)'=A'*B+A*B'
を適用してみてください。