連立方程式

質問

連立方程式の原理を知りたいものです。
２ｘ＋２ｙ＝４５０
２ｘ＋ｙ＝３５０

この二つのそれぞれの式のｘ、ｙの組み合わせは無数にあります。
なぜこういう操作でその一致するものが決められるのですか。

これでまず上から下を引いて、ｙ＝１００　これはｙをいっしょとみるからｙでいくらであるかを求めているとおもいます。これが、それぞれの式に代入して両方成り立つというのは、何でなんでしょうか。
ｙ＝１００はいってしまえば、二つが一点で一致するものなのですが、
どうしてｙ＝１００がそうなるのでしょうか？

教えてください。　よろしくお願いします。

回答No.5

noname#101087

>連立方程式の原理を知りたいものです。

確かに、その疑問が線形代数の基本事項です。
次の三問をくらべてみてください。

　2x + 2y = 450
　2x + y = 350

　2x + 2y = 450
　x + y = 225

　2x + 2y = 450
　x + y = 150

「それぞれの式のx, y の組み合わせは無数にあります」。
各ペアを見ると、どうでしょうか。
　解のペア{x, y} があって、一意的に決まる。
　解のペア{x, y} はあるが、一意的でない。(不定方程式になる)
　解のペア{x, y} がない。

連立方程式に飛びつく前に整理しておくべき基本ですね。

回答No.4

nattocurry

一般的に、
ｘ＝○○○
ｘ＝△△△
なら、
○○○＝△△△
が成り立ちますよね。

上の式から下の式を引くと、
０＝○○○－△△△
となり、
○○○＝△△△
と同じ式になります。

この問題の場合、

２ｘ＋２ｙ＝４５０
２ｘ＝４５０－２ｙ
ｘ＝４５０／２－ｙ

２ｘ＋ｙ＝３５０
２ｘ＝３５０－ｙ
ｘ＝３５０／２－ｙ／２

ｘ＝４５０／２－ｙ
ｘ＝３５０／２－ｙ／２
なので、
４５０／２－ｙ＝３５０／２－ｙ／２
が成り立ちます。

これは、上の式から下の式を引いても、同じ式になることは、最初に説明しましたね。

では、
２ｘ＝４５０－２ｙ
２ｘ＝３５０－ｙ
の段階で引き算をしたら、どうでしょう？
やはり結果は同じです。

では、
２ｘ＋２ｙ＝４５０
２ｘ＋ｙ＝３５０
の段階で引き算をしたら、どうでしょう？
やはり結果は同じです。

引き算して、文字が消えるなら、どの段階で引き算をしても、同じなのです。

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それぞれの式のｘ、ｙの組み合わせは無数にあります。

だけど、両方の式を満たす組み合わせは、１つしかありません。

連立方程式を解く、ということは、その１つの組み合わせを求めるということです。

そして、引き算をして、ｘを消すことによって、１つしかない組み合わせのｙの値を求めることが出来るのです。

回答No.3

OMTOMC

ご存知かと思いますが、上の二つの式をグラフに描いてみると二つの式が、交錯する点が一つ見つかると思います。
その点が連立方程式の解であり、いま点は一つなので解は一通りです。

これは中学二年で習うところでこの後に一次関数を学びますよね。
連立方程式を理解する上ではとても良い教科書の流れだと思います。

回答No.2

sanori

こんばんは。

あー、なるほど。良い質問だと思います。

天秤で考えるのがよいです。

２ｘ＋２ｙ＝４５０　　・・・（あ）
２ｘ＋ｙ＝３５０　　・・・（い）

（あ）は、
天秤の左の皿に分銅ｘと分銅ｙが２個ずつ乗っています。
天秤の右の皿には、４５０グラムの塩を盛っています。
つまり、ｘ２個＋ｙ２個で、４５０グラムだということです。

（い）は、
左の皿に、ｘが２個、ｙが１個乗っています。
右の皿に、３５０グラムの塩を盛っています。

（あ）から（い）を差し引くと、
左の皿でどうなるかと言えば、
（あ）の状況から、左の皿からｘを２個、ｙを１個取り去るので、残りは、分銅ｙが１個残ります。
右の皿でどうなるかと言えば、３５０グラムだけ取るので、残りは１００グラムです。

（い）の当初の状況から言えば、ｘ２個とｙ１個を合わせると３５０グラムになることが保証されています。
ですから、（あ）から（い）を、左の皿同士、右の皿同士でそれぞれ引き算を行えば、
引き算をした後の天秤のつり合いも保証されます。
よって、分銅ｙ１個の重さは１００グラムであることが保証されます。

ここで、ｙ＝１００　がどうやって出てきたかを思い出すと、
（あ）から（い）を差し引いたことによって出てきました。
それはつまり、式（あ）と式（い）の両方を利用して、ｙ＝１００　という値を出したということです。
ですから、ｙ＝１００　が、（あ）とも（い）とも矛盾が生じることはないのです。

ちなみに、
このような、未知数の個数と式の数が同じ連立一次方程式は、解く前から潜在的にｘとｙという答えが「存在する」という考え方をするのが大事です。
言い換えると、本質的には、式の数は２本であって、３本以上にはなりません。
当初、（あ）と（い）という２本の式があって、（あ）と（い）を利用して新たな式を作るのは、本質的に式の数を増やしたことにはならないということです。

つまり、（あ）と（い）から新たな式（う）を作ったら、もはや（あ）か（い）の片方は捨ててよいのです。
なぜならば、ｘ＝○、ｙ＝△　の情報量は２つであって、３本式がある必要がないからです。

そして、２つの情報のうち、ｙ＝１００　が求まったら、残る情報はｘの値ですから、（あ）に代入しても（い）に代入しても、同じｘの値になるのは、実は当然のことです。

不要ではなく、答えを出すのに必要な式同士のことを、「互いに独立な式」と言います。

ちなみに、互いに独立でない式の例を挙げます。
ｘ　＋　ｙ　＝　１０
２ｘ　＋　２ｙ　＝　２０
この連立方程式は、解けません。

以上、ご参考になりましたら幸いです。

お礼

本質的に理解するのは本当に難しいですね。
グラフの一致点のｙを式の上で最初から同じと考えればいいのですかね？　
本当わかりやすかったです。

回答No.1

ota58

２ｘ＋２ｙ-２ｘ-ｙ＝450-350
２ｘ-２ｘ＋２ｙ-ｙ＝100
（２ｘ-２ｘ＝０）
（２ｙ-ｙ＝ｙ）

ｙ＝100