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連立方程式
sanoriの回答
- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
こんばんは。 あー、なるほど。良い質問だと思います。 天秤で考えるのがよいです。 2x+2y=450 ・・・(あ) 2x+y=350 ・・・(い) (あ)は、 天秤の左の皿に分銅xと分銅yが2個ずつ乗っています。 天秤の右の皿には、450グラムの塩を盛っています。 つまり、x2個+y2個で、450グラムだということです。 (い)は、 左の皿に、xが2個、yが1個乗っています。 右の皿に、350グラムの塩を盛っています。 (あ)から(い)を差し引くと、 左の皿でどうなるかと言えば、 (あ)の状況から、左の皿からxを2個、yを1個取り去るので、残りは、分銅yが1個残ります。 右の皿でどうなるかと言えば、350グラムだけ取るので、残りは100グラムです。 (い)の当初の状況から言えば、x2個とy1個を合わせると350グラムになることが保証されています。 ですから、(あ)から(い)を、左の皿同士、右の皿同士でそれぞれ引き算を行えば、 引き算をした後の天秤のつり合いも保証されます。 よって、分銅y1個の重さは100グラムであることが保証されます。 ここで、y=100 がどうやって出てきたかを思い出すと、 (あ)から(い)を差し引いたことによって出てきました。 それはつまり、式(あ)と式(い)の両方を利用して、y=100 という値を出したということです。 ですから、y=100 が、(あ)とも(い)とも矛盾が生じることはないのです。 ちなみに、 このような、未知数の個数と式の数が同じ連立一次方程式は、解く前から潜在的にxとyという答えが「存在する」という考え方をするのが大事です。 言い換えると、本質的には、式の数は2本であって、3本以上にはなりません。 当初、(あ)と(い)という2本の式があって、(あ)と(い)を利用して新たな式を作るのは、本質的に式の数を増やしたことにはならないということです。 つまり、(あ)と(い)から新たな式(う)を作ったら、もはや(あ)か(い)の片方は捨ててよいのです。 なぜならば、x=○、y=△ の情報量は2つであって、3本式がある必要がないからです。 そして、2つの情報のうち、y=100 が求まったら、残る情報はxの値ですから、(あ)に代入しても(い)に代入しても、同じxの値になるのは、実は当然のことです。 不要ではなく、答えを出すのに必要な式同士のことを、「互いに独立な式」と言います。 ちなみに、互いに独立でない式の例を挙げます。 x + y = 10 2x + 2y = 20 この連立方程式は、解けません。 以上、ご参考になりましたら幸いです。
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