微分法 関数の増減

質問

図のように、放物線y=9/4-x^2とx軸とによって囲まれた図形に内接する長方形ABCDがある。この長方形の面積の最大値を求めよ。

という問題が解けません。解く手順としては、最大について求めるものをxの関数で表し、その関数のxの取り得る範囲における増減を、増減表を書いて求めれば良い、と教わりました。

恐らくこの問題だと、
横の長さは0<x<3
縦の長さは0<y<9/4
だと思うんですが、それ以外のことをどうしたら良いか全く分かりません。

急いでいる課題なんで早めに終わらせなきゃいけないのでお願いします。

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回答No.1

teruta · ベストアンサー

y=9/4-x^2に内接した長方形の面積をまず関数で表すといいです。
グラフを見ると明らかなように、これはy軸対象な関数なので
長方形の横の長さ=2x
長方形の縦の長さ=9/4-x^2
とできます。(グラフみてよく考えればでてくる。)
面積はこれを掛けたもの。
9x/2-2x^3
最大を求めたいので微分してみましょう
9/2-6x^2
微分が0になる点は
9/2-6x^2=0
9/2=6x^2
3/4=x^2
x=±√(3/4)=±(√3)/2

あとは微分が0の点、xが0の点について増減表を書いてみると答えがわかるはずです。
どうしてもわからなかったら面積の式に微分が0のxとx=0と他の値を代入してみるといいでしょう
ちなみに横の長さを2xにしたのは-xからxまでという意味です。

お礼

回答ありがとうございます。

>長方形の縦の長さ=9/4-x^2

とありますが、どうしてx^2で引くのでしょうか？
何度も申し訳ありません。

回答No.2

proto

>>長方形の縦の長さ=9/4-x^2
>とありますが、どうしてx^2で引くのでしょうか？

グラフと座標についてしっかりと考えましょう。
この場合、長方形の高さは点Bのy座標から点Aのy座標を引いたものですよね。
いま、点Aのx座標をtとするとAの座標はもちろん、(t,0)になりますね。
点Bは点Aの真上にあるんだから、点Aのx座標がtなら点Bのx座標も同じくtですね。
さらに点Bは放物線y=9/4-x^2上の点ですから、x座標がtなら、y座標はy=9/4-t^2ですよね。
だから点Bの座標は(t,9/4-t^2)になります。

先ほども書いたように長方形の高さは点Bのy座標から点Aのy座標を引いたものだから、
　　(高さ) = 9/4-t^2 - 0 = 9/4-t^2
となります。

これは9/4からt^2を引いているとかではなく、点Bが放物線y=9/4-x^2上の点なので当たり前のことなのです。

点Aの座標が(t,0)のとき、点B,C,Dの座標を全て書き表して見ましょう。
それが出来ないようでは、微分とか増減とか以前に、この問題を解くのはきついです。

お礼

出来ました。正解の答えを導き出せました。
y座標の点を意識して、深く考えすぎていたみたいです。
詳しい説明、どうも有り難うございました。