2次関数 高校1年レベルの問題

質問

問題集をといていてどうしてもわからない問題があります。もう2時間以上考えていますがどうしてもわかりません。
どうか解き方を教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いいたします。

問
放物線 y=12x-x^2とx軸とで囲まれた部分に内接する長方形(1辺はx軸上にある)の周の長さの最大値を求めよ。

y=12x-x^2
y=-(x^2-12x)
y=-(x-6)^2+36

一応平方完成までしたのですがこれからどうやってとくのかさっぱりです。

回答No.2

postro · ベストアンサー

放物線 y=12x-x^2　は描いてみましたか？
軸は　x=6 ですね
内接する長方形(1辺はx軸上にある)はだいたいでいいから描いてみましたか？
x軸上にある長方形の2つの頂点の座標は、（６，０）から左右に等距離になることは気付きましたか？
だったらこの2つの頂点の座標を（6-a,0) (6+a,0) としてみましょう。
するとあと２つの頂点の座標はどうなりますか？
（6-a,36-a^2) (6+a,36-a^2) ですね。
この4点の座標から周の長さLは？
L=2(36-a^2)+4a
この最大値を求めればよいわけです。
多分a=1のときLmax=74だと？？

回答No.3

debut

変形した式から頂点が(6,36)がわかるので、上に凸で、x軸とx=0とx=12で
交わるような放物線をかきましょう。

x=0とx=6の間でx軸上に点Ａをとりその座標を(a,0)とします。あとは
順に、Ａからy軸に平行な直線を引き　放物線と交わった点をＢ、Ｂを
通りx軸に平行な直線を引き　放物線と交わった点をＣ，Ｃを通りy軸
に平行な線を引き　x軸と交わった点をＤとして、長方形ＡＢＣＤを
かきます。

次に、Ｂの座標が(a,12a-a^2)となることから、この長方形の縦は12a-a^2
とわかり、また、放物線の軸x=6がこの長方形の横の中点を通ることから、
横の長さは6-aの２倍の12-2aになることがわかります。

従って、長方形ＡＢＣＤの周りの長さ＝2(12a-a^2)+2(12-2a)と表せるので
この関数で最大値を求めれば（頂点を求める変形をする）よいです。
ただし、aは6より小さいです。

お礼

みなさんとてもわかりやすいご回答ありがとうございました！
おかげで自分なりに理解して解くことができました。
(因みに答えは最大値74です。)
本当にありがとうございました！

回答No.1

hika_chan_

合っているかわかりませんが、
y=-(x-6)^2+36・・・x-6=Xとおき、XY平面でグラフ(Y=-(X)^2+36)を書く
そうすると、X=-6,6でX軸と交わっていることがわかりますね？

それで、XY平面のXの範囲が(0≦X≦6)の時を考えてみる。
長方形だから、横の長さXと、縦の長さYを足したときに、一番長くなったときが、一番大きい長方形になりますよね？？(辺の長さも長くなる)

つまり、X+Yが一番大きくなるときのXを求めてみる。ってかんじですよ～～。

計算してみたら、X=1/2の時一番大きくなるみたいなので、
4*X+2*Yを計算すれば答えが出る。ってかんじですよ～～。

実際に図を書いて理解してみてください。