- ベストアンサー
虚数を用いた指数関数で極限をとる。
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
π=pで表します。 Σ[k=0,n]e^(kpi/n)=(1-e^(ip(n+1)/n))/(1-e^(ip/n)) Σ[k=0,n]e^(-kpi/n)=(1-e^(-ip(n+1)/n))/(1-e^(-ip/n)) e^(ip(n+1)/n=e^(ip(i+1/n))=e^(ip)e^(ip/n)=e^(ip/n) because e^(ip)=1 ∴an=((1+e^it)/(1-e^it)-(1+e^(-it))/(1-e^(-it)))/2i here t=p/n an=(1+e^it)/(1-e^it)/i=cos(t/2)/sin(t/2) because e^1t=cost+isint ∴an/n=cos(p/2n)/(nsin(p/2n)) lim[n→∞]an/n=lim[n→∞]cos(p/2n)/(nsin(p/2n)) lim[n→∞]cos(p/2n)=1 lim[n→∞](nsin(p/2n))=lim[n→∞]n((p/2n)-(p/2n)^3/6....) (by Taylor Expansion) ∴ lim[n→∞]an/n=1/(p/2)=2/p QED
その他の回答 (1)
- rnakamra
- ベストアンサー率59% (761/1282)
ヒントだけ。 (e^(kπi/n) - e^(-kπi/n))/2i=sin(kπ/n) となります。これが判らないならまずは教科書を読むことをお勧めします。 ヒント2 この極限は区分求積の形になっています。
お礼
回答本当にありがとうございます。 >(e^(kπi/n) - e^(-kπi/n))/2i=sin(kπ/n) オイラーの公式の応用ですね。 >この極限は区分求積の形になっています。 この疑問は区分求積について考えていた時に出てきたんで^^;
関連するQ&A
- 指数関数の極限
h>0ならば (1+h)^n>1+nh (n=2,3,4,.....)を使って aが1より大きい正の定数のとき lim_[n→∞]a^(1/n)=1 であることの証明は 任意のh>0に対してベルヌーイの不等式より 1<1+nh<(1+h)^n の各辺のn乗根をとって 1<(1+nh)^(1/n)<1+h ここで1+nh=aとおくと h=(a-1)/n >0 であるから 1<a^(1/n)<1+(a-1)/n aは定数だからlim_[n→∞](a-1)/n=0 はさみうちの原理から lim_[n→∞]a^(1/n)=1 と証明が本に載ってました。 n→+∞であるのに 1+nh=aと置いて 更に、aは定数いえる理由が分かりません。 教えて下さい。宜しくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 対数vsべき乗
(1) lim(n→∞) n^k e^(-n) = 0 (kは任意の自然数) の証明に関して本に、 e=(1+h) (h>0) だから e^n = Σ(j=0~n) nCj h^j > nC(k+1) h^(k+1) …(i) 従ってうんぬんと書いてあったのですが、(i)の不等号が何故成り立つのか分かりません。 kに対しあるn0があってn>n0に関して(i)が成り立つという事を省略して書いているのかなと想像してるのですが そこで止まってしまっています。 (i)の不等号が成り立つ所以を教えてください。 (2) lim(n→∞) n^2/a^n この極限値およびその導き方を教えてください。 (ひょっとしたら(1)の応用で行けるのかな?) (3) lim(n→∞) a^n/n! これに関しては全く糸口が見えません。 以上3題、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 対数・指数関数の極限値
(1)lim(h→0)log10(1+h)/h (10は低) (2)lim(h→∞)(1-2/x)^x の極限値を求める問題で、私は苦手なのですが… (1)は解はlog10e、でlim(h→0)loge(1+h)/h=1という極限公式を利用するのだと思いますが,どう変形したらよいのか、ちょっとわかりませんでした。 (2)は解は1/e^2、でlim(h→∞)(1+1/n)^n=eという極限公式を利用するのだと思いますが,どう変形したら解になるのか、できませんでした。 よろしければ、アドバイスを頂きたいです。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限値
区分求積からlim(n->0)1/nΣ[k=0,n-1](k/n)=∫(0->1)xdxとなるのは、わかりますが、 次の場合はどうなるのか、教えてもらえると有り難いです。 (1)lim(n->0)(1/n)^2Σ[k=0,n-1](k/n) (1/2)/n で、0というのは、あまりに間違っていると思います。 正しい、解答はどうなるのでしょうか。 (2)lim(n->0)1/nΣ[k=0,n-1](k/n)((k+1)/n) これは、((k+1)/n)=(k/n)とみていいのでしょうか。 正しい、解答はどうなるのでしょうか。 (1)、(2)について、基本的なことですが、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます。 鮮やかですね >because e^(ip)=1 まずここに気がつきませんでした。自分のレベルの低さが身にしみます。 >lim[n→∞](nsin(p/2n))=lim[n→∞]n((p/2n)-(p/2n)^3/6....) ここでテイラー展開ですか。自分には到底出ない発想です。 文系学生で数学を独学しているので、基礎ができていないことを痛感します。ご丁寧に証明を示していただいて本当に感謝です。