- 締切済み
指数関数の極限
h>0ならば (1+h)^n>1+nh (n=2,3,4,.....)を使って aが1より大きい正の定数のとき lim_[n→∞]a^(1/n)=1 であることの証明は 任意のh>0に対してベルヌーイの不等式より 1<1+nh<(1+h)^n の各辺のn乗根をとって 1<(1+nh)^(1/n)<1+h ここで1+nh=aとおくと h=(a-1)/n >0 であるから 1<a^(1/n)<1+(a-1)/n aは定数だからlim_[n→∞](a-1)/n=0 はさみうちの原理から lim_[n→∞]a^(1/n)=1 と証明が本に載ってました。 n→＋∞であるのに 1+nh=aと置いて 更に、aは定数いえる理由が分かりません。 教えて下さい。宜しくお願いします。
- sfsf4
- お礼率74% (129/173)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
みんなの回答
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
h = (a-1)/n て、自分で書いているがなあ。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
どの時点で 1+nh=a とおいたのか, そしていつ n→＋∞ としたのかを考えてください. 「aは定数いえる理由が分かりません。」って, (日本語がおかしいけど) そもそも a は定数だよね.
お礼
回答有り難うございます。 ＞「aは定数いえる理由が分かりません。」 aが定数といえる理由が分かりません。 訂正します。 >どの時点で 1+nh=a とおいたのか, そしていつ n→＋∞ としたのかを考えてください. もしかして、nも途中までは定数ということでしょうか？ nは無限になるので、変数なのか定数なのかわかりません。
関連するQ&A
- 数列・関数の極限について
俗に言う「はさみうちの原理」とその周辺に関して質問があります。 数学IIIの教科書によると， すべての自然数nに対し a_n ≦ b_n ≦ c_nのとき lim{n→∞}a_n = lim{n→∞}c_n = α（定数） ⇒ lim_{n→∞}b_n = α lim{x→∞}f(x) = lim{x→∞}h(x) = α（定数）とする。 十分大きいxに対し，f(x) ≦ g(x) ≦ h(x) ⇒ lim_{x→∞}g(x) = α となっております。 (1)limを登場させる順番がなぜ違うのか？ 数列の極限の方ではまず不等式を記し，関数の極限の方ではlimから記しています。 (2)「すべての」と「十分大きい」の部分は数列の極限と関数の極限で異なるか？ 数列の極限の方でも「十分大きい自然数nに対し」でもよいような気がするのですが…。 以上、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限の計算（はさみうち）
a>0のとき、lim[n->+∞]a^(1/n)=1 を証明せよ。 これをハサミウチの原理を使って証明したいのですが、 肝心の不等式が皆目見当がつきません。 ヒントを教えていただけたら幸いです。 お手数ですがよろしく御願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限の問題
以前も質問させていただきましたが、わからないので教えてください。 lim(n→∞)*{a^n+b^n}^(1/n),a>0,b>0の極限を求めよ。この式にはn乗根が入っています。醜くて申し訳ありません。 まずa,bの大小で2通りに場合わけして、はさみうちを利用しそれぞれ「a.bという答え」になりました。 答えはmax{a,b}のようですが、a=bの場合を考えて、単純にlim(n→∞)*{a^n+b^n}^(1/n)をa=bにすると答えは2a=2bになると思いますが、これは模範解答の答えに含まれていません。 lim(n→∞)*{a^n+b^n}^(1/n)=lim(n→∞)*{a^n+a^n}^(1/n) =lim(n→∞)*{2*a^n}^(1/n)=2a nが消える。 何ででしょうか。挟み撃ちのときは小なりイコールのような感じでイコールのときも一括してやっているので裏目に出ませんでした。 以上をよろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数列の極限の問題
数列の極限の問題の解説の意味が解りません。 数列a(n)=3^n/n! のとき 0<a(n+1)≦3/4a(n) (n≧3) を示し、 lim(n→∞)3^n/n!=0 を証明せよ という問題なのですが、 解答には a(n)=3^n/n! とおくと a(n+1)=(3/n+1)*a(n) である。 そして、 n≧3 なら 0<3/n+1≦3/4 であり、a(n)>0でもあるから 0<a(n+1)≦(3/4)*a(n) (n≧3) が成立する。 したがって、n≧3のとき、 0<a(n)≦(3/4)^n-3 a(3)=9/2(3/4)^n-3 lim(n→∞)(3/4)^n-3=0 であるから、はさみうちの原理により lim(n→∞)a(n)=lim(n→∞)3^n/n!=0 と書いてあります。 ほとんどの部分は理解できるのですが、 下から3行目の、 0<a(n)≦(3/4)^n-3 a(3)=9/2(3/4)^n-3 の式の中にある、[^n-3]の意味が理解できません。 なぜ^n-3が必要なのか、どこからそれが導き出されたのか、 教えていただけると助かります。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の極限の問題がわかりません！！
0＜a＜bである定数a,bがある。Xn=(a^n/b + b^n/a)^1/n とおくとき (1)不等式b^n＜a(Xn)^n＜2b^n を証明せよ。 (2)lim<n→∞>Xnを求めよ。 上の問題が全くわかりません！ どうか、教えてください(*_*) 計算過程など詳しく書いていただけたらとーっても嬉しいです(>_<) よろしくお願いしますm(__)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数III「漸化式と極限」の「はさみうちによる極限」の解法について
数III「漸化式と極限」の「はさみうちによる極限」の解法について 使っている問題集の解説に 数列{a_n}について、 漸化式の不動点αと0<k<1を満たす定数kがあって、|a_n-α|<k<|a_(n-1)-α| ならば、 lim(n→∞)=α とありました。 証明はわかりました。 これについて、逆は真ですか？（書き方から偽という感じですが…） 偽なら、反例もお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- この極限は一体?
an=(1・3・5・7・9…(2n-1))/(2・4・6・8・10…2n)とする。 liman(n→∞)とlimΣan(n=1→∞)を求めよって問題です。 liman(n→∞)は、an=(1-1/2)(1-1/4)(1-1/6)…((2n-1)/2n)と表せるので、 (1/2+α)^n<an<β^nとおける。(0<α<1/2、α+1/2<β<1) はさみうちの原理よりliman(n→∞)=0 困っているのはlimΣan(n=1→∞)のほうです。 どうやら無限大になるようですが証明できません。 第n項までの和はΣan=(1/2{2-(1/4{2-(1/6{2-(1/8{・・・{2-(1/2n)})とかけるのですがここからどうしたらいいか… 色々やっているうちにbn+1=2(n+1)bn+1・3・5・・・(2n+1)というあまり意味のない漸化式が出てきたり…(ちなみにbnはΣanの分子です。) f(n)<Σanとなるような無限大に発散するf(n)を見つければ解決するんでしょうか?誰か教えてくださいm(__)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答有り難うございます。 ＞h = (a-1)/n て、自分で書いているがなあ。 確かに。 つまり、任意のh>0と設定してるので、 全ての正の数hは h→0(n→∞)ということでしょうか？