質点系の運動の問題がわかりません

質問

大学で基礎力学を履修しているものです。
質点系の運動を今習っているんですが、次の問題がわかりません。
「本体の質量ｍのロケットが質量ｍの燃料を積んでいる。このロケットは燃料を（その量にかかわらず）本体に対して速さuで後方に噴射することができる。重力を無視できる空間で燃料を少しずつ連続的に噴射したとき、最初にロケットが静止していた座標系から見た最終的な速度を求めよ。ただしロケットの方向を正とする。
自分は運動量保存則をつかってみたんですが、うまくいきません。よろしくお願いします

回答No.5

sanori

3度目。お邪魔します。

前回回答で、
---------
Ｖn　＝　ｍ／Ｍ・ｕ　－　１／ｎ・ｍ／Ｍ・Σ[k=1→n]Ｖk
ここで、ｎ→∞　の極限を取れば、求める最終速度になります。
最終速度　＝　lim[n→∞]Ｖn　＝　ｍ／Ｍ・ｕ
---------
と書きましたが、
よく考えたら、
Σ[k=1→n]Ｖk
の部分は、ｎが大きくなるほど大きくなるので、
１／ｎ　が掛け算されていても、
lim[n→∞]　１／ｎ・ｍ／Ｍ・Σ[k=1→n]Ｖk　＝　０
とはならないかもしれません。

というわけで、私自身、混乱しています。
失礼しました。

回答No.4

sanori

再びお邪魔します。
先程の回答は、結果だけは合っていますが、途中の計算にミスがありましたので、
下記に訂正します。

燃料の質量はｍのままで、本体の質量をＭとして計算してみました。

本体質量：　Ｍ
燃料積載量：　ｍ
噴射の分割数：　ｎ
本体の速度：　Ｖn

1回目の噴射での運動量保存の式は、
｛Ｍ　＋　（ｎ－１）／ｎ・ｍ｝Ｖ1　－　１／ｎ・ｍｕ　＝　０

2回目の噴射での運動量保存の式は、
｛Ｍ　＋　（ｎ－２）／ｎ・ｍ｝Ｖ2　－　１／ｎ・ｍ（ｕ－Ｖ1）　＝　｛Ｍ　＋　（ｎ－１）／ｎ・ｍ｝Ｖ1

3回目の噴射での運動量保存の式は、
｛Ｍ　＋　（ｎ－３）／ｎ・ｍ｝Ｖ3　－　１／ｎ・ｍ（ｕ－Ｖ2）　＝　｛Ｍ　＋　（ｎ－２）／ｎ・ｍ｝Ｖ2

4回目の噴射での運動量保存の式は、
｛Ｍ　＋　（ｎ－４）／ｎ・ｍ｝Ｖ4　－　１／ｎ・ｍ（ｕ－Ｖ3）　＝　｛Ｍ　＋　（ｎ－３）／ｎ・ｍ｝Ｖ3

　・・・・・

ｎ－２回目の噴射での運動量保存の式は、
｛Ｍ　＋　２／ｎ・ｍ｝Ｖn-2　－　１／ｎ・ｍ（ｕ－　Ｖn-2）　＝　｛Ｍ　＋　３／ｎ・ｍ｝Ｖn-2

ｎ－１回目の噴射での運動量保存の式は、
｛Ｍ　＋　１／ｎ・ｍ｝Ｖn-1　－　１／ｎ・ｍ（ｕ－　Ｖn-1）　＝　｛Ｍ　＋　２／ｎ・ｍ｝Ｖn-2

ｎ回目（最後）の噴射での運動量保存の式は、
｛Ｍ　＋　０｝Ｖn　－　１／ｎ・ｍ（ｕ－　Ｖn）　＝　｛Ｍ　＋　１／ｎ・ｍ｝Ｖn-1

以上の式の左辺同士、右辺同士を、上から下まで全部足します。
Σ[k=1→n]｛Ｍ　＋　（ｎ－ｋ）／ｎ・ｍ｝Ｖk　－　１／ｎ・ｎｍｕ　＋　１／ｎ・ｍΣ[k=1→n]Ｖk　＝　Σ[k=1→n-1]｛Ｍ　＋　（ｎ－ｋ）／ｎ・ｍ｝Ｖk

左辺のいちばん左のΣと右辺のΣでは、ｋの範囲が1つ違うだけで中身は同じだということに着目すれば、
｛Ｍ　＋　（ｎ－ｎ）／ｎ・ｍ｝Ｖn　－　１／ｎ・ｎｍｕ　＋　１／ｎ・ｍΣ[k=1→n]Ｖk　＝　０
ＭＶn　－　ｍｕ　＋　１／ｎ・ｍΣ[k=1→n]Ｖk　＝　０
Ｖn　＝　ｍ／Ｍ・ｕ　－　１／ｎ・ｍ／Ｍ・Σ[k=1→n]Ｖk

ここで、ｎ→∞　の極限を取れば、求める最終速度になります。
最終速度　＝　lim[n→∞]Ｖn　＝　ｍ／Ｍ・ｕ

この問題では、Ｍ＝ｍ　なので、
最終速度　＝　ｍ／ｍ・ｕ　＝　ｕ

以上のことからわかるとおり、
Ｍ×最終速度　＝　ｍｕ
という関係ですので、
結果として、一発で空中分解したときの運動量保存の式と同じになります。

では、これにて。

回答No.3

sanori

こんにちは。
面白そうなので、やってみました。

頭のいい人だと、積分で一発で解けるのかもしれませんが、
瞬間、瞬間を細切れにして、運動量保存を適用し、数列の和を使って求めました。

まず、
燃料を連続的に「しゅーーーー」と噴射するのではなく、
ｎ回に分けて離散的に「しゅっしゅっしゅっ」と噴射することとします。
つまり、最後に、ｎ→∞　の極限を求めればよいです。

ｎ回に分けるので、1回あたりの噴射量は、１／ｎ・ｍ　です。

ｎ回目を噴射した後のロケットの速さ（最終速度）をＶnと置きます。

運動量の保存の式は、
［噴射後の本体＋残燃料の運動量］　－　［噴射した燃料の運動量］　＝　［噴射前の本体＋残燃料の運動量］
です。

1回目の噴射での運動量保存の式は、
｛ｍ　＋　（ｎ－１）／ｎ・ｍ｝Ｖ1　－　１／ｎ・ｍｕ　＝　０

2回目の噴射での運動量保存の式は、
｛ｍ　＋　（ｎ－２）／ｎ・ｍ｝Ｖ2　－　１／ｎ・ｍ（ｕ－Ｖ1）　＝　｛ｍ　＋　（ｎ－１）／ｎ・ｍ｝Ｖ1

3回目の噴射での運動量保存の式は、
｛ｍ　＋　（ｎ－３）／ｎ・ｍ｝Ｖ3　－　１／ｎ・ｍ（ｕ－Ｖ2）　＝　｛ｍ　＋　（ｎ－２）／ｎ・ｍ｝Ｖ2

4回目の噴射での運動量保存の式は、
｛ｍ　＋　（ｎ－４）／ｎ・ｍ｝Ｖ4　－　１／ｎ・ｍ（ｕ－Ｖ3）　＝　｛ｍ　＋　（ｎ－３）／ｎ・ｍ｝Ｖ3

　・・・・・

ｎ－２回目の噴射での運動量保存の式は、
｛ｍ　＋　２／ｎ・ｍ｝Ｖn-2　－　１／ｎ・ｍ（ｕ－　Ｖn-2）　＝　｛ｍ　＋　３／ｎ・ｍ｝Ｖn-2

ｎ－１回目の噴射での運動量保存の式は、
｛ｍ　＋　１／ｎ・ｍ｝Ｖn-1　－　１／ｎ・ｍ（ｕ－　Ｖn-1）　＝　｛ｍ　＋　２／ｎ・ｍ｝Ｖn-2

ｎ回目（最後）の噴射での運動量保存の式は、
｛ｍ　＋　０｝　－　１／ｎ・ｍ（ｕ－　Ｖn）　＝　｛ｍ　＋　１／ｎ・ｍ｝Ｖn-1

以上の式の左辺同士、右辺同士を、上から下まで全部足します。

Σ[k=1→n-1]｛ｍ　＋　（ｎ－ｋ）／ｎ・ｍ｝Ｖk　－　１／ｎ・ｍ・Σ[k=1→n]（ｕ－Ｖk）　＝　Σ[k=1→n-1]｛ｍ　＋　（ｎ－ｋ）／ｎ・ｍ｝Ｖk

左辺の第1項と右辺は相殺されて、
１／ｎ・ｍ・Σ[k=1→n]（ｕ－Ｖk）　＝　０
Σ[k=1→n]（ｕ－Ｖk）　＝　０
ｎｕ　－　Σ[k=1→n]Ｖk　＝　０　　・・・（あ）

式（あ）で、ｎを１つ減らすと、
（ｎ－１）ｕ　－　Σ[k=1→n-1]Ｖk　＝　０　　・・・（い）
となりまして、（あ）－（い）より、
ｕ　－　Ｖn　＝　０

Ｖｎ　＝　ｕ　（　＝　分割数がｎのときの、最終速度）

というわけで、
最終速度はｕに等しく、分割数ｎに依存しないという結果になりました。
連続噴射は、ｎ→∞　の極限ですが、その場合も当然、ｕが答えになります。
Ｖ∞　＝　ｕ　（　＝　求める最終速度）

以上、ご参考になりましたら幸いです。

回答No.2

rnakamra

どのように計算して答えを求めたか、式をあわせてお知らせください。
どこが悪いのか、説明できると思います。
基本的には運動量保存則で解けるはずなのですが。
(計算はちと面倒かもしれませんが)

回答No.1

isa-98

このぐらい出来ないと完璧にヤバイ状態ですよ。
他の子は高度３００ｋｍぐらいまで打ち上げてます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A8%E5%8A%9B

１キロの物質を１ｍ/Sで後ろへ飛ばせば慣性力で１ｍ/Sの速度になるんですよ。