方程式の整数の組

質問

教えてください。

『方程式　ｘｙ-2ｘ-3ｙ＝0　を満たす正の整数の組（ｘ、ｙ）は何組あるか、答えなさい。』
という問題です。
答えは、4組なんですけど、解き方を教えてほしいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

yについて揃えると、（x-3）*y＝2x。
x-3＝0の時は、0＝6となり不適。
x-3≠0の時、y＝（2x）/（x-3）＝2＋（6）/（x-3）。‥‥(1)　従って、x≧1より、x-3≧-2.　‥‥(2)
従って、yも正の整数であるから、6/x-3が整数でなければならない。
(2)より、x-3＝±1、±2、3、6.　がその候補になる。
この中で、実際にｘとｙが共に正の整数になるものをチェックしていけばよい。

別解としては、（結局は見かけが違うだけで、同じことなんだが）、(1)より、（y-2）*（x-3）＝6と変形して、y≧1より　y-2≧-1、x≧1より、x-3≧-2.の条件に注意して、（y-2）*（x-3）が6になるものを調べる。

整数問題は、時として“調べる”事も必要になる。

お礼

回答ありがとうございます。
助かりました。

回答No.3

rnakamra

xy-2x-3y=0を次のように変形します。
xy-2x-3y=(x-3)(y-2)-6=0
(x-3)(y-2)=6
x,yともに整数であるから、x-3,y-2も整数。
掛け合わせて6になる二つの整数の組み合わせは
(1,6),(-1,-6),(2,3),(-2,-3),(3,2),(-3,-2),(6,1)(-6,-1)
の8通り。
x.yがともに正の整数であることから、x-3≧-2,y-2≧-1から適合しないものを除けばよい。

コツは左辺を掛け算の形に持っていくこと、右辺を整数にしてしまうことでしょうか。

お礼

非常にわかり易い回答ありがとうございます。
右辺を整数にするコツは、ほかの問題でも使えますね＾＾

回答No.2

incd

色々な解き方があると思いますが（中学生か高校生かにもよります）、

xy - 2x - 3y = 0
y(x-3) = 2x
ここで、仮にx=3ならば、左辺＝０、右辺＝６で方程式を満たさないので、x≠3が分かる. よって両辺を(x-3)で割ることができて、
y = 2x/(x-3)
分子に6を引いてから6を足す（分かりやすくするためのテクニック）と
y = (2x-6+6)/(x-3)
y = (2x-6)/(x-3) + 6/(x-3)
y = 2 + 6/(x-3)
となります。

ここから正の整数という条件を使っていきます。
まず、xが9より大きいと、右辺が分数になります（約分ができないので）。するとyが分数ということになり、矛盾。したがってxは１～９の範囲とわかります。

あとはもう候補が9つしかないので1つずつ試していけばよくて、yがちゃんと正の整数になる場合を数え上げていくと4通りとわかります。

＊この手の整数に関する問題は慣れていないと手も足も出ないこともあると思ったので、少し「丸投げ」的な質問でしたが回答しました。でももしかすると後で消されてしまうかもしれないので、補足に何か書くと良いかもしれません。

お礼

回答ありがとうございます。
質問が初めてなので質問の仕方を以後気をつけます。
式の変形が重要なんですね。とてもわかりやすい回答ありがとうございました。