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軸対称の力のつりあい式について
はじめまして。 現在応力の勉強をしております。 微小要素における力のつりあい式というのがよく書籍などにのっております。 この式のｘｙｚの座標におけるつりあい式はわかるのですが、軸対称問題における力のつりあい式がなぜそうなるのかがよくわかりません。 どなたかおわかりになる方、いらっしゃいましたらわかりやすい解説のほどよろしく御願いいたします。 色々な書籍を見てみましたが、軸対称問題の場合、式のみ掲載されていて、どうしてこのような式になるかがいつも割愛されています。 よろしく御願い致します。
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- px1949
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- h191224
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厳密さはさておき、直角座標系での釣り合いがわかっていらっしゃるとのことですので、少々イメージ的になりますが、次のように説明してみましょう。 （図の貼り付けが成功するかどうかがわからないので、くどくなりますが、文章でも説明します。） 円柱の内部で、次の微小部分を考えます。 ｒ＝ｒ1～ｒ2（増分値ｄｒ） θ＝θ1～θ2（増分値ｄθ） ｚ＝ｚ1～ｚ2（増分値ｄｚ） 次に、この部分でのｒ方向の応力の釣り合いを考えます。 そのために、次のような諸量を定義します。 ｒ＝ｒ1で、σr＝σr1、τrz＝τrz1、弧長＝ｄs1（＝ｒ1*dθ） ｒ＝ｒ2で、σr＝σr2、τrz＝τrz2、弧長＝ｄs2（＝ｒ2*dθ） ｒ＝ｒ1～ｒ2での周方向垂直応力＝σθ（両端での値の相違を考慮しても意味なし） ｒ＝ｒ1でのｒ方向の合力ｆ1を考えると、体積力がなければ、 ｆ1＝σr1*ｄs1*ｄz ＋ τrz1*ｄs1*ｄr ｒ＝ｒ2でのｒ方向の合力ｆ2を考えると、 ｆ2＝σr2*ｄs2*ｄz ＋ τrz2*ｄs2*ｄr － σθ*ｄr*ｄθ*ｄz ｆ2での第３項は、扇形のθ＝一定の辺が、傾斜していることにより生じる力です。（直角座標系では生じません。） 両者を等値すると、 σr1*ｒ1*ｄθ*ｄz ＋ τrz1*ｒ1*ｄθ*ｄr ＝σr2*ｒ2*ｄθ*ｄz ＋ τrz2*ｒ2*ｄθ*ｄr － σθ*ｄr*ｄθ*ｄz ⇒(σr2*ｒ2-σr1*ｒ1)ｄz ＋ (τrz2*ｒ2-τrz1*ｒ1)ｄr － σθ*ｄr*ｄz ＝ ０ σr2*ｒ2-σr1*ｒ1⇒Δ(ｒσr)などと書くと、 ⇒Δ(ｒσr)ｄz＋Δ(ｒτrz)ｄr－σθ*ｄrｄz＝０ ｄrｄzで割ると、 ⇒Δ(ｒσr)/ｄr＋Δ(ｒτrz)/ｄz－σθ＝０ これを微分形で表示すると、 ∂(ｒσr)/∂r＋∂(ｒτrz)/∂z－σθ＝０ これとあなたの画像の第１式（ｒ方向）とは等価です。
- my3027
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円筒座標(極座標）表示のつりあい方程式です。
お礼
お返事ありがとうございます。 円筒座標(極座標）表示のつりあい方程式だということは私も理解しているのですが、どうしてこのような式になるのか、その導き方がよくわかりません。 より詳細な内容をいただけたらありがたいです。
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