対称式について

質問

今高校一年の数学の勉強をしているのですが（数１）
その過程で対称式というのがほんの少し出てきました。解説も
｛式に含まれるどの文字を交換しても同じ式になる｝また｛対称式は基本対称式であらわせる｝といった程度の簡素な解説のみでした。
そこで質問なのですが（質問1）対称式とはいったいいつ本格的に習うものなのでしょう？大学の数学で習うのでしょうか？はたまた高校2年、3年でならうのでしょうか？（質問2）また上記の解説だけでは情報が足りずかなりの疑問が出てしまい、いまいちわからないのですが高校レベルでは｛式に含まれるどの文字を交換しても同じ式になるものが対称式｝程度に覚えておけばいいのでしょうか？？

回答No.1

larme001 · ベストアンサー

大学入試で問われる対称式の場合は、一番手っ取り早いのは標準問題を問題集で一通りやって出てくる程度のものを理解しておけばあとは特に問題ないとおもいます。

対称式というのは、簡単に言えば、たとえばf=x^2-xy+yx+y^2のような場合で、xとyを入れ替えても同じ式になる場合を指します。対称式の場合、二変数ならx+y=u, xy=v （基本対称式）などとおいた場合に必ずu,vの二変数でf()が表現でき、また、u,vより二次関数の解と係数の関係をうまく利用することが出来る問題があります。

あとは、対称性があるので、不等式の証明問題などでx,y,zの値をx≧y≧z 、などと決めてしまい、成立することを示すことでも一般性を失わない、とやることも多いです。

何時、どこまで知っておくべきか、ということについては、なんともいえませんが、とりあえずの理解としては入れ替えて同じであり、基本対称式で表せる。ということだけでも十分です。入試でこれを使って解く問題というのは、よくあるものを問題集で一通りやり方を覚えておけば良いでしょう。単独ででるよりも、融合問題で最初のステップとして考え付くかどうかといったところでしょうか？大体は、図示や上記のような証明などで絡めて出題される場合が多く、２つの変数がある場合にうまく処理する一つの手段として、気づけるかどうかが大切です。基本対称式であれば、その後二次関数の問題（判別式、グラフ）などに帰着出来ます。

補足

ありがとうございます。あとひとつ文字を入れ替えるとあるのですが例えばx^2・y^3の場合ｘとｙを入れ替えるとはｙ＾2・ｘ＾3でいいのですか？
またはｙ＾3・ｘ＾2とするのですか？前者のようにあくまでｘやｙの変数のみを入れ替えるということでしょうか？それとも後者のように
指数も一緒にいれかえるのでしょうか？恐縮ですがお教え願えばうれしいです

回答No.2

lick6

補足です
f(x,y) = x^2 + xy + y^2 とすると
f(y,x) = y^2 + yx + x^2 = f(x,y) これが入れ替えるという意味です
実際 f(x,y) = (x + y)^2 - xy というように基本対称式 x+y , xy で表せますよね。

f(x,y) = x^3 + 4xy + y^2 というときは
f(y,x) = y^3 + 4yx + x^2 ≠ f(x,y) となるので対称式ではありません

f(x,y) = x^3 + 5xy + y^3 は
f(y,x) = y^3 + 5yx + x^3 = f(x,y)
f(x,y) = (x + y)^3 - 3xy(x + y) + 5xy

大体こんな感じです。
３文字のときは基本対称式は x+y+z , xy+yz+zx , xyz となります。
似たようなもので交代式というのもあります。
どちらも単元としてしっかり学ぶというよりは、知っとくと便利、あるいはこういう問題はこのようにして解く、というふうにちょこっとやる程度だと思います。
しかし、＃１さんのおっしゃる通り結構応用のきく手法でもあるので是非覚えておくといいでしょう。
不安があるのであれば先生に聞いてもいいですし、書店で数学I(おそらくですが、念のため先生などにも聞いてみてください)のある程度レベルの高い参考書には載っていると思いますので探してみるのもよろしいのではないでしょうか。

お礼

非常にわかりやすい説明ありがとうございます。っほんとに助かりました！ありがとうございました