- 締切済み
対称式の性質を用いた因数分解
x,y,zに関する3次の同次の対称式で分からない点があるので質問します。 問題は、次の対称式を因数に分解せよ、 (x+y+z)^3-(y+z-x)^3-(z+x-y)^3-(x+y-z)^3 というものです。 (与式)={(x+y+z)^3-(y+z-x)^3}-{(z+x-y)^3+(x+y-z)^3}とすると2つの括弧内はともに2xなる因数をもつ。与式はx,y,zに関する3次の同次の対称式だから、それが2xなる因数をもてば、2y,2zなる因数を持ち、結局xyzなる因数をもつ。この１文が分からないところです。 自分の考えでは、2つの対称式の和差積商は対称式より、与式は因数分解しても、(1次の対称式)*(2次の対称式)か3次の対称式になる。 (与式)=2x(A+B+C・・・)となっていて、第２因数にyという共通因数があっても、括りだすとき2x+yにはならずに、2xy(A'+B'+C'・・・)となる。このように共通因数を括りだすとき、()のそとにある因数に+でつながらないので、3文字の1次の同次対称式(2x+2y+2z)を与式は因数に持たない。同様にして3文字の2次の同次対称式2x^2+2y^2+2z^2や、2xy+2xz+2yzを与式は因数に持たない。よって3文字の３次の同次対称式である、xyzを因数にもつ。自分の考えがまちがっていたら訂正してください。そしてまったくわからないのが、2xyzも３次の対称式なのに、2x2y2zが因数になっていることです。どなたかこの理由を教えてください。お願いします。因数分解の答えは24xyzです。
- situmonn9876
- お礼率91% (646/703)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
みんなの回答
- ATZ1229tkt
- ベストアンサー率33% (2/6)
与えられた整式Aをxの整式とみてf(x)とおく。 f(0)=(y+z)^3-(y+z)^2-(z-y)^3-(y-z)^3=0だからA=f(x)はxで割り切れる。 同様にAはyでもzでも割り切れる。従ってAはxyzで割り切れる。 Aの次数もxyzの次数も3なのでA=kxyz (kは定数)とおける。 x=y=z=1を代入して27-1-1-1=k,k=24, ∴24xyz このぐらいの答案が普通だと思います。 「与式は因数分解しても・・・」の部分は正しくないです。 例えば(x+1)(y+1)(z+1)は対称式です。・・・の形にはなってません。 (x+1)(y+1)(z+1)は基本対称式x+y+zもxy+yz+zxもxyzも因数には持ち ません。「因数2xを持つ」という表現もどうかなと思います。 単に「因数xを持つ」でいいでしょう。整数係数で因数分解せよと いうことなら2xと書いてもいいですが特に必要とは思えません。
関連するQ&A
- この因数分解がわかりません・・・
高校の宿題で因数分解の問題です。 24x^2-54y^2+14x+141y-90 を因数分解してください。 途中の計算もできれば詳しくお願いします。 それと、 x(y^3-z^3)+y(z^3-x^3)+z(x^3-y^3) の因数分解を自力でがんばって (y-z)(xy^2-xyz+z^2x-x^3-y^2z-yz^2) までやったんですが、 これ以上因数分解できますか？ ここまでで間違ってるいるなら正しい答えを教えてください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 因数分解
x+y+z=3-(1),1/x+1/y+1/z=1/3-(2)のとき x^3+y^3+z^3=? という問題なのですが行き詰ってしまいます。(すみません簡単な問題で＞＜) (2)の式の両辺に3xyzをかけて 3(xy+yz+zx)=xyz として解こうとしています。 x^3+y^3+z^3 =x^3+y^3+z^3-3xyz+3xyz =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz =(x+y+z)(x+y+z)^2-3xy-3yz-3zx+3xyz =(x+y+z)^3-xyz+3xyz となって分からなくなっています。この式の間違いを指摘してください。そしてやり方を教えてください。当方高校2年です。
- 締切済み
- 数学・算数
- 因数分解
(x＾3)＋(y＾3)＋(z＾3)-(x＋y＋z)＾3 から (x+y+z)^3 = x^3 + y^3 +z^3 +3(x^2y + xy^2 +y^2z + yz^2 + x^2z +xz^2) +6xyz よって、 (与式) = - 3(x^2y + xy^2 +y^2z + yz^2 + x^2z +xz^2) -6xyz = -3(x^2y + xy^2 +y^2z + yz^2 + x^2z +xz^2 + 2xyz) までは分かったのですが、このあとどのように求めるかわかりません。 また、 別の方法で (与式) = (x + y)(x^2 -xy + y^2) + {z - (x+y+z)} {z^2 + z(x+y+z) + (x+y+z)^2} = (x + y)(x^2 -xy + y^2) - (x + y) {z^2 + z(x+y+z) + (x+y+z)^2} の解き方もわかりません。 どうして上のような式になるのですか？ 教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 因数分解の方法
次の式の因数分解の仕方がわかりません。 レポートとして提出する物で途中の式も書かなければならないのですが、 まずやり方が分からないので、解けません。 どうか教えてください。 １、(a+b)^3＝a^3+b^3+3ab(a+b)の式から、 a^3+b^3の式の因数分解の公式を導くものなのですが、 移項したりしても、解く事が出来ません。 ２、x^4＝(x^2)^2を利用して、 （a+1)^4-5(a^2-1)^2+4(a-1)^4を因数分解するのですが、 どうしてａが出てくるんですか？（写し間違いではありません。） ３、(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyzの式の解き方を教えてください。 ずいぶんややこしいものでごめんなさい。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
自分の間違いに気づけました。ご指摘ありがとうございます。