モーメントのつりあいの式が導けません。

質問

物理(1)（高校1年）の範囲にある「剛体にはたらく力のつりあい」という分野です。
問題）
　粗い水平面から、鉛直で滑らかな壁に、長さＬ、重さＷの一様な棒ＡＢを立てかけたところ、棒は静止した、棒が鉛直方向となす角をθとする。棒の上端Ａが壁から受ける垂直抗力の大きさＮaと棒の下端Ｂが水平面から受ける垂直抗力の大きさＮb、および、静止摩擦力の大きさｆをそれぞれ求めよ。

まず図を書き、それから水平方向と鉛直方向のつりあいの式を求めました。
水平方向　Ｎa=ｆ
鉛直方向　Ｎb=Ｗg
これにあと力のモーメントのつりあいの式が必要なのですが、その式が立てられません。
モーメントの和がゼロになれば静止していることになるのはわかっています。

どなたかこの場合のモーメントのつりあいの式の導き方と考え方を、詳しくご解説お願いいたします。

回答No.2

funifuni11 · ベストアンサー

まず、回答する前に一つ。
棒の「重さW」と「質量M」は別です。
重さは、あくまで力です。
つまり、W = Mg という関係式が成り立っています。
この場合は、重心にかかる力は「Wg」でなく、
「W」ですので、注意してください。

で、質問の回答ですが、
モーメントの釣り合いを出すには、棒のどこか任意の
ある一点の回りの棒の回転を考えます。
(どの点まわりに考えても、棒は回転していないので
モーメントの総和はゼロになります)
重要なのは、モーメントを出すときの「力」は、
回転方向の成分で考える、ということです。

例えば、水平面との接地点まわりに考えてみます。
回転方向は、当然棒に対して垂直な方向です。
Nbおよびfは、接地点にかかる力ですので、
モーメントには寄与しません。
残るは、Na とWです。
Naの、棒に対して垂直な成分はNa cosθ、
W の、棒に対して垂直な成分はW sinθ ですので、
接地点からの距離を考えて式を立てれば、

Na cosθ ×L + W sinθ × L/2 = 0
となりますので、これを解けば、
Na = f = W tanθ / 2
ということになります。

お礼

回答ありがとうございます。モーメントの和がゼロになるのに、基準とする点はどこでもよかったのですね。接触店のモーメントは考えないのですね。すっきりしました。
＞Naの、棒に対して垂直な成分はNa cosθ、
W の、棒に対して垂直な成分はW sinθ といわれたんですが、これはＮａとＷの力を分解したもののうちの棒に対する垂直成分の力と言うことですよね？
やっと理解できました。矢印を2方向に分解してそれに腕の長さをかけるということですよね。
本当にありがとうございました。
また物理のどうしても1人ではわからないところがでてきたら、ご回答よろしくお願いします。

回答No.3

funifuni11

すみません、#2です。

Na cosθ ×L + W sinθ × L/2 = 0

と書きましたが、符号が間違ってますね。
正しくは、

Na cosθ ×L - W sinθ × L/2 = 0

です。まぁ、モーメントの方向を考えれば明らかですが…。

回答No.1

graduate_student

棒の長さをLとします．
棒の重心はどこですか？
棒が密度均一であれば棒の中心ですね．
棒の中心にWgがかかっている図を書きましょう．
棒のモーメントの基準点を設定します．
例えば端点Aを中心に反時計回りに回転すると仮定しましょう．