偏微分の問題

質問

z=e^√（x^2+y^2）とするとき、(∂^2*z)/(∂*x^2)+(∂^2*z)/(∂*y^2)を求めよ
。という問題があります。
√（x^2+y^2）=rとおきます。
∂z/∂x=(e^r)*x/r
また、(∂/∂r)*｛(e^r)*x/r｝=(e^r)*x（r-1）/(r^2)
よって、(∂^2*z)/(∂*x^2)={(e^r)*x（r-1）/(r^2)}*（∂r/∂x）
=(e^r)*(x^2)*（r-1）/(r^3)…（ア）
同様に(∂^2*z)/(∂*y^2)=(e^r)*(y^2)*（r-1）/(r^3)…（イ）
（ア）と（イ）を足して{e^√（x^2+y^2）}*（√（x^2+y^2）-1）/√（x^2+y^2）
という答えが出たのですが、正しい答えは
{e^√（x^2+y^2）}*（√（x^2+y^2）+1）/√（x^2+y^2）
らしいです。自分の解き方のどの箇所がおかしいですか？

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

偏微分は、「ナニがナニによって決まる従属変数なのか」ということをはっきりさせないとおかしくなっちゃいます。

> (∂/∂r)*｛(e^r)*x/r｝=(e^r)*x（r-1）/(r^2)
　この計算はまずい。左辺は「xをrの関数だと思って、｛(e^r)*x/r｝をrで微分する」という意味なのだから、xとは関数x(r)に他ならない。x(r)を陽に書けば
x(r) = ±√(r^2 - y^2) （yは定数）
である。これを使って
(∂/∂r)*｛(e^r)*x(r)/r｝
を計算しよう、ということ。なので、
(∂/∂r)*｛(e^r)*x(r)/r｝
= x(r)*[(∂/∂r)((e^r)/r)] + ((e^r)/r)*[(∂/∂r)x(r)]
= (e^r)*x(r)*(r-1)/(r^2) + ((e^r)/r)*[(∂/∂r)x(r)]
= (e^r)*(x(r)*(r-1)/(r^2) + 1/x(r))
となる。

> (∂^2*z)/(∂*x^2)={(e^r)*x（r-1）/(r^2)}*（∂r/∂x）
というのは、
(∂/∂x)(∂z/∂x) = (∂/∂r)(∂z/∂x)*(∂r/∂x)
と考えて計算なさったのでしょう。この関係式は必ずしも間違いではないのだけれども…

　右辺に出てくる(∂/∂r)(∂z/∂x)とは、「zをrとxの関数とする。まずrを定数と見て（固定して）zをxで微分する。その結果得られたxとrの関数(∂z/∂x)について、今度はxを定数と見て（固定して）rで微分する」ということを意味しています。
　このとき、rとxの間には関係がない（たがいに独立変数だ）と見ている。そして、yを従属変数（すなわちxとrの関数y(x,r)）だと思って、
z(x,r) = e^√(x^2+y(x,r)^2)
を考えていることになります。y(x,r)を陽に書けば
y(x,r) =±√(r^2 - x^2)
であり、だから
(∂/∂x)y(x,r)=-x/y(x,r)
である。これを使うと、
(∂z/∂x)=z(x,r)*(x+y(x,r)*[(∂/∂x)y(x,r)]))/√(x^2+y(x,r)^2)
=z(x,r)*(x-x))/√(x^2+y(x,r)^2)=0
となる。rを一定にしたのだから、xが幾らだろうがe^rは一定。当たり前の結論です。だから、
(∂/∂r)(∂z/∂x)*(∂r/∂x)=0

　左辺の(∂/∂x)(∂z/∂x)というのは、「zをx（およびその他の独立変数）の関数とする。（その他の独立変数は全部定数だと思って）zをxで二度微分する」ということを意味しています。ですが、「その他」って、ちょっと曖昧です。
　これを右辺と同様に「zをxとrの関数とする。rを定数だと思って、zをxで二度微分する」と解釈すると、既に見たように
(∂z/∂x)=0
だから
(∂/∂x)(∂z/∂x)=0

　結局、両辺とも「zをxとrの関数とする。rを定数だと思って、zをxで二度微分する」と解釈すると、
(∂/∂x)(∂z/∂x) = (∂/∂r)(∂z/∂x)*(∂r/∂x)
は確かに成り立つんで、間違ってはいない。0=0だけど。

　ところが、当初の問題には「z=e^√（x^2+y^2）とする」とあるのだから、(∂/∂x)(∂z/∂x)を計算するに当たって、zはxとyの関数z(x,y)だと思うんでなくてはならない。
　要するに、
(∂/∂x)(∂/∂x)z(x,y) ≠ (∂/∂x)(∂/∂x)z(x,r)
（左辺はyが一定だと思って微分する。右辺はrが一定だと思って微分する。）
である。だから、(∂/∂x)(∂z/∂x)というのがどっちの話をしてるんだか区別しなきゃいけない、ということです。

　というわけで、「ナニがナニによって決まる従属変数か」をはっきり決めておく必要がある。それが一目で分かるようにするために、上記のように従属変数を関数の形で（z(x,y), r(x,y)のように）書くと、混乱しにくいと思います。

回答No.3

arrysthmia

＞ 自分の解き方のどの箇所がおかしいですか？

(ア) を導くところで、まず最初に、
∂/∂r が「何を固定しての偏微分か」を明示しなかった
のが間違いの始まり。あの書き方では、
(x, y) = (r cosθ, r sinθ) の θ を固定したのか、
x または y の一方でも固定したのか、ハッキリ判りません。

いづれにしろ、w = ∂z/∂x は２変数関数ですから、
合成関数の微分は、∂w/∂x = (∂w/∂r)(∂r/∂x) ではなく、
∂w/∂x = (∂w/∂r)(∂r/∂x) + (∂w/∂もうひとつの変数)(∂もうひとつの変数/∂x)
になりますね。
ここで「もうひとつの変数」とは、∂w/∂r を行うときに固定した変数のこと。
(∂/∂r){ (e^r)(x/r) } = (e^r){ x (r-1)/(r^2) } とするのなら、x がそうです。
z の引数を (x,y) から (x,r) に変換したことになりますね。

お礼

どうもありがとうございました。
優れたご回答だと思いましたが、２つしか選べないということで、ポイントを差し上げられなくてすみません。

回答No.2

info22

>また、(∂/∂r)｛(e^r)*x/r｝=(e^r)*x（r-1）/(r^2)
｛(e^r)*x/r｝は　x,yの関数なのでr=√(x^2+y^2)での
偏微分(∂/∂r)することが間違い。
直接
>よって、(∂^2 z)/(∂x^2)={(e^r)*x（r-1）/(r^2)}*（∂r/∂x）…(●)
(∂/∂x){(e^r)*x/r}
の計算をすべきですね。
(∂/∂x){(e^r)*x/r}
=(e^r)/r + x(∂/∂r){(e^r)/r}(∂r/∂x)
=(e^r)/r + (x^2/r)(e^r)(r-1)/r^2…(◆)
となりますね。
(●)の式を(◆)と比較すると第一項がありませんね。
(◆)を計算すると
＝{(x^2)√(x^2+y^2)+y^2}{e^√(x^2+y^2)}/{(x^2+y^2)√(x^2+y^2)}
同様に(∂^2 z)/∂y^2を計算すると
＝{(y^2)√(x^2+y^2)+x^2}{e^√(x^2+y^2)}/{(x^2+y^2)√(x^2+y^2)}
これらを加えると(x^2+y^2)で約分ができ答の式がでてくるでしょう。

回答No.1

PRFRD

全体的に，多変数関数の微分の扱い方が間違っています．
例えば，最初に
　r = √(x^2 + y^2)
と置いているのですが，これはつまり
　x = r cosθ
　y = r sinθ
と極座標になおしていることに他なりません．
なので，∂x/∂r は，ゼロにはなりません．また，
　∂f/∂x = (∂f/∂r) (∂r/∂x)
みたいな，合成関数の連鎖則も成り立たず，
もう少し複雑な式になります．

その問題を解くだけならこんなことしなくても解けるのですが，
ここは非常に大切な部分なので，是非この機会に復習してください．

お礼

どうもありがとうございます。
復習します。