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偏微分関数の問題が分かりません!
大学で偏微分の問題が出されたのですが分かりません。教えてください!! [問]z=f(x,y)はC^2級で、x=rcosθ,y=rsinθとする。次の問いに答えよ。 ・x(∂z/∂x) + y(∂z/∂y)=0の時、zはθに依存することを示せ。 ・(1/x)*(∂z/∂x) = (1/y)*(∂z/∂y)の時、zはrにのみ依存することを示せ。 ・(∂^2z/∂x^2) + (∂^2z/∂y^2) = (1/r)*(∂z/∂r) + (1/r^2)(∂^2z/∂θ^2) となることを示せ。
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大学1年のものです。 次のような問題に出くわしました。 Z=f(x,y) x=rcosθ y=rsinθのとき次の関係式を示せ。 Zxx+Zyy=Zrr+(1/r)Zr+{1/(r^2)}Zθθ ここで、 Zx=∂Z/∂x Zxx=∂^2Z/∂x^2 です。(r、θについても同様) まず、 Zr=Zx・cosθ+Zy・sinθ …(1) Zθ=-Zx・rsinθ+Zy・rcosθ …(2) ですよね? ここで疑問がわきました。 (2)でrsinθ=x、rcosθ=yと置き換えるのと置き換えないのとでは、Zθθが違う思います。 そこで教科書の答えを見ると、 置き換えて微分したほうの答えが書いてあったので、 置き換えて計算しないとダメなのかと思ったのですが、 (1)においてはcosθ=x/r、sinθ=y/rと置き換えないのでしょうか? というか、教科書には置き換えないほうの結果が載っていました。 自分でもcosθは置き換えといて、置き換えた後のrがそのままなのはおかしいと思いますが、なぜrcosθを置き換えてcosθを置き換えないのかがわかりません。 質問を要約すると なぜrcosθを置き換えてcosθを置き換えないのか? ということです。 ちなみに教科書に載っていた答えは、 Zrr=Zxx(cosθ)^2+Zyy(sinθ)^2+2Zxy・sinθcosθ Zθθ=Zxx・r^2(sinθ)^2+Zyy・r^2(cosθ)^2-2Zxy・r^2・sinθcosθ-(Zx・rcosθ+Zy・rsinθ) です。 非常にわかりにくい文章だとは思いますが、教えていただければ助かります。
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お礼
回答ありがとうございます!おかげさまで何とか解けそうです!本当にありがとうございました!