定数項は「０」か「なし」か？

質問

以前にも質問があったようですし、「人による見解の相違」ということなのかもしれません？が・・・

例えば、整式　ｘ＾３＋２ｘ　について、
（１）この整式の定数項は、「なし」なのか「０」なのか？
（２）「この整式の定数項を求めよ。」という質問は、おかしいのか？
（３）「この整式の定数項を求めよ。」という質問に「なし」と答えたら、バツなのか？

また、例えば３次関数　ｙ＝ｘ＾３＋２ｘ　を考えると、
（１）この関数のｙ切片は、「なし」なのか「０」なのか？
一般に、
（２）「整関数のｙ切片は、その整式の定数項である。」という表現は、不適切なのか？

さらに関連して、
例えば３次関数　ｙ＝ｘ＾３＋２ｘ　について、
（３）「この関数の２次の項」は、「なし」なのか「０ｘ＾２」と答えても良いのか？
（４）「この関数の２次の係数」は、「なし」なのか「０」なのか？

以上のようなことなのですが、どうぞよろしくお願いします。

回答No.7

arrysthmia

←No.6 補足
＞ 「ある」とか「ない」とかいう語感の問題でしょうか・・・？

式の同値性と、文字列としての比較の区別がついているか否かの問題だと思います。
「ｘ＾３＋２ｘ＋０」と「ｘ＾３＋２ｘ」は、異なる文字列ですが、同値な多項式です。
それは、式そのものは異なるが、式が表す関数は同じだということ。「式は異なる」のです。
「定数項」は、「項」の分類名ですから、（本来は、）関数より文字列としての式に
係わる用語です。その辺が、なし崩しに融通して使われるため、貴方の今回の疑問が
生じたのでしょう。「ｘ＾３＋２ｘの定数項は０」といった用法は、「定数項」の語義に
反するのですが、慣用として十分定着しており、容易には否定できません。
「ご飯が食べれる」みたいなものです。

例１
ｘ＾３＋２ｘ＋０　には、定数項「０」があり、その値は０である。
ｘ＾３＋２ｘ　　　には、定数項は無い。よって、定数項の値は０である。

例２
ｘ＾３＋０ｘ＾２＋２ｘ　には、２次の項があり、その式は「０ｘ＾２」である。
ｘ＾３　　　　　＋２ｘ　には、２次の項は無い。よって、２次項の値は０である。
　　　　　　　　　　　　　　　式に０ｘ＾２を加えても、多項式は同値である。

例３　同上

例４
１ｘ＾３＋２ｘ　には、３次の係数「１」があり、その値は１である。
　ｘ＾３＋２ｘ　にも、３次の係数「１」があるが、表記上省略されている。

「係数」は、文字列としての式の用語ではなく、関数としての多項式の部品です。
書いてなくても、そこに在る。

例５
tan ０°＋ tan ９０°という式には、右の項があり、その値は０である。

「ない」ハズがないでしょう？ ０があるんだから。流石に、これは荒唐無稽。

お礼

繰り返しご回答をお寄せいただき、大変ありがとうございます。

おかげ様で、段々と様子が分かってきた気がします。
「文字列」としての「定数項」という「用語」と
関数としての「定数項」という「値」の違い、
といったことでしょうか・・・

段々分かってきたのですが、再度、確認させてください。
繰り返しですみませんが、ご都合がつけば是非よろしくお願いします。

例１
tan ０°＋ tan ９０°　という式には、「左の項」が「ある」。その「値」は「０」である。
tan ０°＋ tan ９０°　という式には、「右の項」が「ある」。その「値」は「なし」である。

例２
tan ０°＋ tan ９０°　という式には、「右の項」が「ある」。
tan ０°　　　　　　　　　という式には、「右の項」が「ない」。
tan ０°　　　　　　　　　という式には、「右の項」が「ない」。よってその「式」（または「値」）は「０」である。

例３
ｘ＋９０　　という式には、「右の項」が「ある」。
ｘ＋９０　　という式には、「定数の項」が「ある」。
９０＋ｘ　　という式には、「定数の項」が「ある」。
ｘ　　　　　　という式には、「定数の項」が「ない」。よつてその「値」は「０」である。

例４
１ｘ＾３＋２ｘ　には、「３次の係数」が「ある」。
　 ｘ＾３＋２ｘ　には、「３次の係数」が「ない」。よってその「値」は「１」である。表記上の省略である。

例５
ｘ＾３＋２ｘ＋０　には、「定数項」が「ある」。その「値」は「０」である。
ｘ＾３＋２ｘ　　　　　には、「定数項」が「ない」。よってその「値」は「０」である。
ｘ＾３＋２ｘ　　　　　には、「定数項」が「ある」。その「値」は「０」である。これは表記上の省略である。

それぞれの例で、どれが適切でしょうか？
よろしくお願いします！