- 締切済み
グルサーの定理
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
みんなの回答
- Ae610
- ベストアンサー率25% (385/1500)
・Goursatの定理 f<n-1>(a)=(n-1)!/2πi・∫c｛f(z)/(z-a)^n｝dz （<n>はn回の微分を表すものとする、∫cは周回積分を表すものとする） f(z)=exp(z) , g(z)=exp(iz) とするほうが分かり易いと思う。 f(z)のほうはOK! g(z)のほうは場合分けが必要と思う
関連するQ&A
- 留数定理を用いた計算について
f(z)=1/zとし、0.5+0iを中心とした半径１の円を反時計回りに一周積分したいのですが、 z=0.5+exp(iθ)、dz=i*exp(iθ)dθ とおいて置換積分すると ∫1/z dz =∫(i*exp(iθ))/(0.5+exp(iθ))dθ =[ln(0.5+exp(iθ)] =ln(0.5+exp(2πi))-ln(0.5+exp(0i)) =0 となって０になってしまうんですが、f(z)には０＋０iに特異点があるので 留数定理より一周積分した答えは2πiになるはずだと思うので上記の計算結果が なぜこうなるのか理解できません。 自分の何が間違っているのか教えてください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 留数定理を使った解き方を教えてください。
留数定理を使った解き方を教えてください。 ある本の次の問題の解き方が分かりません。分かる方教えていただきたくよろしくお願いいたします。 ----- 原子衝突の理論では次の、実数pを含む積分に遭遇する。 I=∫(-∞→∞)｛(sin t)exp(ipt)/t｝dt この積分を求めなさい。 ----- 答は、以下のとおりです。 ----- |p|>1ならI=0で、|p|<1ならI=π。 ----- 答に示されている積分経路は以下のとおりです。（本の説明では、ひとつ前の問題の積分経路として記載されていますが、おそらくそれは誤植で、この問題の積分経路と思われます。） また、ε→0、R→∞の極限を取ると思われます。 ----- C1：ε→R（ε及びRは正の実数。実軸上を移動） C2：R→-R（θ=0→πの反時計回り） C3：-R→-ε（実軸上を移動） C4：-ε→ε（θ=π→0の時計回り） ----- これ以上の解説はありません。 その本の他の問題を参考に、以下の計算をしてみました。 f(z)=(sin z)exp(ipz)/z とおくと、 sin z=(exp(iz)-exp(-iz))/2i より f(z)=(exp(2iz)-1)exp(i(p-1)z)/2iz となり、 z=r(cosθ-isinθ)とおくと、 exp(i(p-1)z)=exp{-(p-1)rsinθ+i(p-1)rcosθ} となります。 C4の経路では、f(z)=0となるような気がするのですが、C2の経路はどうすればよいのか分かりません。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 無限和と留数定理について
無限和を留数定理によって証明するやり方がわかりません。本には 1-1/3+1/5-1/7+...=1/2Σ(m=0,±1,...){(-1)^m/(2m+1)}=lim(n→∞)∫i/4*1/z*exp(izπ/2)/{exp(iπz)+1}dz と書いてあるのですが、この間の式の変形の意味がわからないのです。どなたか教えてください。よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- sinz=2i の解き方が分かりません
sinz=2i の解き方なんですが、 (exp(iz)-exp(-iz))/2i=2i と書き換えて exp(2iz)=1/5としたんですが、 そこからどう解けばいいのか分かりません。 答えは z=nπ+i*log{√5+2(-1)^n} (nは整数) でした。 分かる方がいらっしゃったら、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分値を留数定理で求める方法
問題：次の積分の値を求めよ ∫exp(-z)/(z(z-1)(z-3))dz 但し、複素積分は円周 |z|=2 上半時計回りに行うものとする。 上の問題を、留数定理を用いて以下のように解きました。 C : z=2×exp(iθ) 極は0、1、3でそれぞれ1位であり、 Res［f(z)，z0］=lim[z→z0] (z-z0)f(z) であるから R(1)=(1/3-1/12)×exp(-1) R(3)=(1/9-1/4)×exp(-3) R(0)=1/2-1/18 よって、留数定理より、 与式=2πi(R(0)+R(1)+R(3)=2πi(4/9 - (1/4)×exp(-1) - (5/36)×exp(-3)) 質問したいことは、 1、この問題を留数定理で解く方針は正しいか 2、特異点が極かどうか(極でないとRes［f(z)，z0］=lim[z→z0] (z-z0)f(z)が使えないので) 3、留数定理の使い方が正しいか 4、上記の解答は正しいか です。回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分（コーシーの積分定理）について質問です
zを複素数としする。コーシーの積分定理によれば「関数f(z)が領域Dで正則であるとして、領域D内の任意の閉曲線Cの内部が領域Dに含まれる場合、閉曲線Cに沿った関数f(z)の周回積分は0になる。」が成り立つと思います。 そこで次の問題を考えました。（zは複素数変数、aは実数の定数、iは虚数単位とする） 「原点を中心とする半径aの円を閉曲線Cとする。閉曲線Cに沿った、関数f(z)=1/(z-ai)の周回積分Iをを求める。」 閉曲線Cの内部で関数f(z)は正則だけれども、閉曲線Cは関数f(z)が正則でないz=aiの点を含んでいるのでコーシーの積分定理は利用できない。…(1) そこで、次のように積分を行うことにしました。閉曲線Ｃを複素数で表して、C：z=a*exp(iθ) (0≦θ≦2π) dz/dθ=ai*exp(iθ) よってI =∫f(z)dz =∫{ai*exp(iθ)/(a*exp(iθ)-ai)}dθ (積分範囲は0≦θ≦2π) ここで、[Ln(a*exp(iθ)-ai)](0≦θ≦2π)=0…(2) そこで質問です。 (1)は正しく、閉曲線の外周上に被積分関数が正則で無い部分があるなら、コーシーの積分定理は成立しないのでしょうか？ (2)ln(z)は無限多価関数なので、どの複素関数の不定積分でもないと思ったので、Ln(z)を不定積分として用いたのですが、これは大丈夫なのでしょうか？ ご回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- Dedekindのη関数変換公式
q=exp(2πiz)として η(z) = q^(1/24) Π_n=1^∞ (1-q^n) θ(z) = Σ_n=1^∞ χ(n) q^(n^2/24) ここでχ(n)はmod12の原始的偶指標で 1 (n ≡ ±1 mod 12のとき) -1 (n ≡ ±5 mod 12のとき) 0 (その他) とするとEulerの五角数定理より η(z) = θ(z)となります。 逆にη(z)とθ(z)の変換公式から Eulerの五角数定理が得られるかどうかに興味があります。 F(z) = θ(z)/η(z) としておいてF(z)がSL2(Z)不変であることが示せればSL2(Z)/Hおよびi∞}で正則であることを 用いてLiouvilleの定理から定数になってlim(z->i∞) F(z) = 1から得られると考えられます。 そこでF(z)がSL2(Z)不変であることを示したいので変換z->z+1とz->-1/z について のη(z)、θ(z) の変換性をみたいのです。変換z->z+1については η(z+1) = exp(πi/12)η(z), θ(z+1) = exp(πi/12)θ(z) が簡単に得られます。変換z->-1/zについてθ(z)についてはPoisson和公式より θ(-1/z) = sqrt(z/i) θ(z) が得られます。ということは η(-1/z) = sqrt(z/i) η(z) のはずですが Eulerの五角数定理を用いないで示せるでしょうか？Poisson和公式に相当する ような無限積に関する公式があるのでしょうか？ よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分の解き方がわかりません
円周 |z - 1| = 1 上で反時計回りに複素積分を行い、 ∫( z^n / (z - 1)^n )dz の値を求めよという問題がわかりません。 |z - 1| = 1より、 C : z = 1 + exp(iθ) であり、線積分の公式 ∫{C} f(z)dz = ∫{a→b} f(z(t))z'(t) dt (ただし、{}は積分範囲) という公式を当てはめると、 ∫{π→0} ( (1 + exp(iθ))^n/(exp(iθ))^n ) × iexp(iθ) dθ と考えたのですが、この積分を解くことができません。それとも、それ以前で間違えているのでしょうか？ わかる人がいれば詳しく教えていただけるとありがたいです。回答よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 留数定理による実定積分の計算について
留数定理による実定積分の計算について 現在複素積分について勉強中のものです。 ∫^{+∞}_{-∞}f(x)exp{itx}dxという形の積分の計算なのですが t>0については ∫^{+∞}_{-∞}f(x)exp{itx}dx=2πiΣ^{m}_{k=1}Res{f(z)exp{itz}} となりf(z)が偶関数のとき ∫^{+∞}_{0}f(x)cos(tx)dx=πiΣ^{m}_{k=1}Res{f(z)exp{itz}} となりf(z)が奇関数のとき ∫^{+∞}_{0}f(x)sin(tx)dx=πΣ^{m}_{k=1}Res{f(z)exp{itz}} となりますが t<0のときはどうなるのでしょうか。 マイナスになるだけでしょうか。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
