解の個数について

質問

問題
3Cos4x-4Sin2x+a-1=0(0≦x<π｛←パイ｝)
の解の個数を求めなさい。ただし,aは定数とする。

できたところまだ書くと
Sin2x=Xとおく
上の等式は
6X^2+4X-(a+2)=0
解の公式
X={-2±√(6a+16)}/6
-1≦X≦1より
-4≦±√(6a+16)}≦8

ここからよくわかりません。
また別の方法の微分でも考えたのですがうまくいきませんでした。
ご教授下さい。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#3です。
A#3の補足の質問の回答

>0≦x<πで
>3sin(2x)+1=0・・(1)　
>(1)を満たすx=π+arcsin(1/3)/2,2π-arcsin(1/3)/2としているのですが。
ミスです。2xの2で割る所の括弧が書き損じてました。
x={π+arcsin(1/2)}/2＝(π/2)+{arcsin(1/2)}/2
{2π-arcsin(1/3)}/2＝π-{arcsin(1/3)}/2
が正しいです。

>定義からx=arcsin(1/3)/2と思ったのですが、なぜ上記のようになるのでしょうか？

単位円による角度とx,y座標の関係は分かりますね。
(1)から
sin(2x)=-1/3
単位円を書いて
0≦2x＜2π
を満たす2xを出せば
2x=π+arcsin(1/3)
と
2x=2π-arcsin(1/3)
が出てきます。
つまり
x=(π/2)+arcsin(1/3)/2
と
x=π-arcsin(1/3)/2
が得られます。

お礼

ありがとうございました。理解することができました。

回答No.3

info22

>Sin2x=Xとおく
>上の等式は
>6X^2+4X-(a+2)=0
置かないで書くと
3(sin(2x))^2+2sin(2x)-1=a/2
y1=f(x)=3(sin(2x))^2+2sin(2x)-1
y2=a/2
と置いて、aを変化させてy1とy2の交点の個数を調べる。

y1=f(x)のグラフの外形を描く（添付図）。
赤線がy2=a/2の直線（傾斜はゼロの水平な直線）のグラフで
aの値により、y1との交点の個数が変化する様子が分かる。

y1=f(x)のグラフの概形を描くために、以下のようにして特徴的な座標点（極大、極小となる点）を求めてグラフを描くと良い。
f'(x)=12cos(2x){3sin(2x)+1}
f'(x)=0となるx (0≦x<π)は以下の通り
x=π/4の時,f(π/4)=4
x=3π/4の時,f(3π/4)=0
x=π+arcsin(1/3)/2の時,sin(2x)=-1/3,f(π+arcsin(1/3)/2)=-4/3
x=2π-arcsin(1/3)/2の時,sin(2x)=-1/3,f(2π-arcsin(1/3)/2=-4/3

グラフからaの値や範囲で場合分けして、交点の個数、
つまり元の三角方程式の解の個数をまとめてください。

お礼

>>info22
毎回丁寧な解説ありがとうございます。綺麗な図ですね。
数学力に圧倒されました。
X=sin2xとおくと、Xの解の個数を調べた後、xの解の個数を考えるので頭が混乱していました。

力量不足で理解するの時間がかかりそうですが、本当にありがとうございました。

補足

0≦x<πで
3sin(2x)+1=0・・(1)　
(1)を満たすx=π+arcsin(1/3)/2,2π-arcsin(1/3)/2としているのですが。

定義からx=arcsin(1/3)/2と思ったのですが、なぜ上記のようになるのでしょうか？
また、グラフをみて、このπ+arcsin(1/3)/2,2π-arcsin(1/3)/2の値の範囲は具体的に示されていますが。どうしてわかるのでしょうか？

回答No.2

mister_moonlight

＞解の個数を求めなさい
＞0≦x<π

解というのだから、Xの個数ではなく、xの個数のことだろう。

そうすると、Sin2x＝Xと置き換えるなら、0≦2x<πの範囲では、xとＸが、1：2に対応し、π≦2x<2πでも1：2に対応する事を確認しておかなければならない。
但し、2x＝π/2と3π/2の時は例外で1：1に対応する。
その上で、a/2＝3Ｘ＾2＋2Ｘ-1＝3（Ｘ＋1/3）＾2-4/3と変形して、-1＜Ｘ≦1の範囲でのグラフを描き、その放物線とＹ＝a/2　（Ｘ軸に平行な直線）との交点を考える。

以下は、自分で出来るだろう。

回答No.1

owata-www

＞Sin2x=Xとおく
上の等式は
6X^2+4X-(a+2)=0

ここまではＯＫです。

これが-1≦X≦1にいくつ解を持つかを考えればいいわけです。
6X^2+4X-(a+2)=6(x+1/3)^2-(a+8/3)　＝f(x)とおきます
ですから、グラフの形を考えると
0<f(-1/3) or f(1)<0の時は1≦X≦1に解を持ちません
f(-1)＝０orf(-1/3)<0、0≦f(1)の時、1≦X≦1に一個解を持ちます
f(-1)<０、０≦f(-1/3)の時、1≦X≦1に二個解を持ちます

ただし、Sin2x=Xと0≦x<πに注意してください

見直ししてないので、適当になおしておいてください