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三角関数 解の個数 定数分離
「与えられた正の実数aに対して、0≦x<2πの範囲で sin3x-2sin2x+(2-a^2)sinx=0 はいくつ解をもつか調べよ。」 この問題を解いています。 3倍角と2倍角の公式を用いて変形し、 -4(sinx)^3+5sinx-4sinxcosx=a^2sinx となって両辺をsinxで割ろうと思ったのですがこの場合sinx=0の時も考えるのでしょうか? また、もしsinxで両辺を割ってcosの式に統一したとすると定数がa^2となるのですが、それでも個数を調べることはできるのでしょうか? 解答いただければ幸いです。よろしくお願いします
- cyvyc
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>両辺をsinxで割ろうと思ったのですが それは仰るようにsinx=0の場合を等閑視するので良くないです。移項して因数分解しましょう。 sinx{-4(sinx)^2-4cosx+(5-a^2)}=0 変形してsinx{4(cosx)^2-4cosx+(1-a^2)}=0 そこでsinx=0または4(cosx)^2-4cosx+(1-a^2)=0 後者の方程式は(2cosx-1)^2=a^2ですから形式的に解くと 2cosx= 1±a xの範囲とcosxの範囲に注意すれば、 1±aのいずれもが絶対値が2より大きい場合、どちらか一方が絶対値が2の場合、どちらか一方が絶対値が2未満の場合、両方が絶対値2以下の場合(この場合さらに一方の絶対値が2の場合と両方とも絶対値2未満の場合)それにsinx=0の場合を勘案して(例えばa=1のときの解の一つはcosx=1よりx=0ですが、これはsinx=0も満たすので別に数えてはいけない)aの値で場合わけして答えましょう。
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- mister_moonlight
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この問題のポイントは、xとcosxが必ずしも1対1の対応ではないと言うことです。 2cosxのグラフを描いて、1±aとの交点を調べてください。 1対1、2対1の場合が出てくると思います。
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