- ベストアンサー
線形化 状態方程式
非線形システムdx/dt=f(x,u), f(x,u)=(2・x1・x2+u ,x1+x2^2)T x=(x1,x2)T テーラー展開一次近似により、平衡点(x',u'), x'=(x1',x2')T に関して局所線形化したX=x-x',U=u-u'に関する状態方程式 dX/dt=AX+BUを求めよ。 上記の問題で平衡点をx0=(-1,1)T u0=2としてその近傍でテーラー展開しようとしたのですが、AとBの計算の仕方がわかりません。 お手数ですが、教えていただけないでしょうか? 似たような問題があるサイトがあれば教えてください
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
関連するQ&A
- 非線形微分方程式の特異点
次の連立微分方程式について回答お願いします dx/dt = -x+y dx/dt = 2x+1-e^y 1,特異点を求める 2,特異点の近傍でe^yを一次の項まで近似し、方程式を線形化 3,線形化した方程式をベクトル表示 4,特性方程式(固有方程式)を解き、固有値を求める 5,この連立方程式の特異点のタイプは何か
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 偏微分方程式の問題です。準線形方程式 u・(∂u/
偏微分方程式の問題です。準線形方程式 u・(∂u/∂x) + (∂u/∂y) = 1 の解で、初期曲線がx0(s)=s、y0(s)=2s、u0(s)=-s (0≦s≦1)で与えられるものを求めよ。 自分で解いてみたら途中までこんな感じになりました。 >>dx/dt = u、dy/dt = 1、du/dt = 1を解くと x=ut+s、y=t+2s、u=t-s おそらくこの連立方程式を解くのかと思うのですがうまく行きません。どうすれば良いのでしょうか。回答お願いいたします!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ラグランジュの方程式
変分を使ってラグランジュ方程式を導く方法についてお聞きしたいことがあります. 1次元運動の物理量F(x,x',t)を変分δIは,Δx/xの2次の項以上は非常に小さいとして無視すると, δI=δ∫[t1→t2] F(x,x',t)dt =∫[t1→t2] {F(x+Δx,x'+Δx',t)-F(x,x',t)}dt =∫[t1→t2] {(∂F/∂x)Δx+(∂F/∂x')Δx'}dt ↑は参考書に書いてあることなのですが,式の2行目から3行目への展開はテイラー展開なのでしょうか?でもテイラー展開と考えると「Δx/xの2次の項以上は非常に小さいとして無視すると」という記述がよくわかりません. あと,記号にはΔを使っていますがδでもΔでもどちらでもいいのでしょうか? おねがいします.
- ベストアンサー
- 物理学
- 非線形分布定数システム→線形時変システム
非線形分布定数システム dx d --=--[A(t,z)x(t,z)]+B(t,z)u(t,z) dt dz を,いじくりやすいように線形化したいのですが,z(位置)についてのみ差分化し, dx’ --=A’(t)x’(t)+B’(t)u’(t) dt として線形時変システムとして扱うことは,数学的に良いのでしょうか? 差分化に伴い,xやAなどはx’やA’などに記述し直されるとします. 難しい数学でいじくる非線形分布定数システムと,線形システムと, 別個に解説する本は何冊か持っているのですが,具体的な線形化の妥当性については 解説がなく,上記の手続きが不安になりました. 宜しくご教授下さいませ.
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形作用素の応用で微分方程式を解く問題です。
二階定係数線形微分方程式 (d^2x/dt)-(dx/dt)-2x=e^(-t) に対し、線形作用素D=d/dt、恒等作用素Iを用いてx(t)を解く方法を教えてください! お願いします。。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式
微分可能な関数f(x)が, ∫[0~x]f(t)dt=x^3-3x^2+x+∫[0~x]tf(x-t)dt をみたしている. このとき, f(x)を求めよ. 与式の左辺をF(x), 右辺をG(x)とおくと, F(x)=G(x) ⇔ F'(x)=G'(x) かつ F(a)=G(a)となるような定数aが存在するー(※) F(0)=G(0)=0より, (※) ⇔ F'(x)=G'(x) h'(x)=f(x), g"(x)=f(x)とすると ∫[0~x]tf(x-t)dt=[-tf(x-t)][0~x]+∫[0~x]F(x-t)dt=-xF(0)-g(0)+g(x) より,与式の両辺をxで微分すると, f(x)=3x^2-6x+1+F(x)-F(0)=3x^2-6x+1+∫[0~x]f(t)dtー(1) 再びxで微分して, f'(x)=6x-6+f(x) f(x)=yとおくと, dy/dx=6x-6+y 6x+y=uとおくと, dy/dx=du/dx-6より, du/dx=u u≠0のとき, du/u=dx ⇔∫du/u=∫dx ⇔log|u|=x+c (c:積分定数) ⇔u=±e^(x+c) ⇔y=±e^(x+c)-6x (1)にx=0を代入して,f(0)=1 ⇔ ±e^c=1 ⇔ c=0 ∴y=±e^x-6x また, u=0のとき, y=-6xより,(1)に代入すると, -6x=3x^2-6x+1-3x^2 ⇔ 0=1となり, いかなるxについてもこれは成り立たず不適. ∴f(x)=±e^x-6x 添削お願いします.
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数が含まれた、線形常微分方程式の解法
以下の線形常微分方程式を特殊解を用いない方法で解こうとしたところ解けなかったので、 どなたか解いてください。お願いします。 d^2x/dt^2+dx/dt=sint(t-1)(t+1)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 振り子の問題について (平衡点など
d^2x/dt^2 + a*dx/dt +sin(x)=0 この問題は非線形微分方程式です dx/dt=y dy/dt=-a*y -sin(x) とおいて連立させて平衡点を求めれば (0,0)(0,π)?になるとお思います この微分方程式を平衡点のまわりで線形化させたいのですが解法が全然分かりません アドバイスをいただけるか参考サイトを教えていただけけないでしょうか
- 締切済み
- 物理学
- 1自由度振動系の運動方程式の解法について
mを質量 cを減衰係数 kをバネ定数 (dx/dt)^2 をXをtでの2階微分とします。 今 m(dx1/dt)^2+c{(dx1/dt)-(dx0/dt)}+k(x1-x0)=0 という運動方程式で表される1自由度線形振動系があるとします。 この運動方程式を解くとき、 x0=Xsinωt x1=Ysin(ωt-φ) としたとき、上の二つの式を直接運動方程式に代入して解き、Y/Xを導く場合どうしてもφやsinやcosのせいで綺麗に解くことができません。 こういう場合に必要なテクニックなどあれば教えていただきたいです。 よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 物理学
補足
この平衡点はf(x,u)=0のときの値ですよね?x1,x2,uと変数が3つあるのにどうやって出すのですか?教えてください