微分方程式の解法と関数f(x)の求め方
- 微分方程式の解法として、与式をxで微分することで関数f(x)を求めることができます。
- 関数f(x)は、f(x) = ±e^x - 6xとなります。
- 与式の左辺と右辺をそれぞれF(x)とG(x)とおくと、F(x) = G(x) ⇔ F'(x) = G'(x)かつF(a) = G(a)が成り立ちます。
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微分方程式
微分可能な関数f(x)が, ∫[0～x]f(t)dt=x^3-3x^2+x+∫[0～x]tf(x-t)dt をみたしている. このとき, f(x)を求めよ. 与式の左辺をF(x), 右辺をG(x)とおくと, F(x)=G(x) ⇔ F'(x)=G'(x) かつ F(a)=G(a)となるような定数aが存在するー(※) F(0)=G(0)=0より, (※) ⇔ F'(x)=G'(x) h'(x)=f(x), g"(x)=f(x)とすると ∫[0～x]tf(x-t)dt=[-tf(x-t)][0～x]+∫[0～x]F(x-t)dt=-xF(0)-g(0)+g(x) より,与式の両辺をxで微分すると, f(x)=3x^2-6x+1+F(x)-F(0)=3x^2-6x+1+∫[0～x]f(t)dtー(1) 再びxで微分して, f'(x)=6x-6+f(x) f(x)=yとおくと, dy/dx=6x-6+y 6x+y=uとおくと, dy/dx=du/dx-6より, du/dx=u u≠0のとき, du/u=dx ⇔∫du/u=∫dx ⇔log|u|=x+c (c:積分定数) ⇔u=±e^(x+c) ⇔y=±e^(x+c)-6x (1)にx=0を代入して,f(0)=1 ⇔ ±e^c=1 ⇔ c=0 ∴y=±e^x-6x また, u=0のとき, y=-6xより,(1)に代入すると, -6x=3x^2-6x+1-3x^2 ⇔ 0=1となり, いかなるxについてもこれは成り立たず不適. ∴f(x)=±e^x-6x 添削お願いします.
- ktdg
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惜しい。 最後に初期条件を入れるところに凡ミスあり。 y = (eのx乗)-6x であって、± は要らない。 「u≠0 のとき？」の扱いに悩んでいるのなら、 式を du/dx - u = … と変形しておいて 両辺に eの-x乗 を掛けてから積分する という手もある。 どうせなら、(1) を微分せずにそのまま F(x) についての微分方程式と見て、 上記の手を使うと、話が早い。
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