フーリエ変換による周波数の表現について

質問

フーリエ変換が
F(ω)=∫(-∞から∞まで) f(t)e^(iωt) dt
e^(iωt)=cosωt+isinωt
で表わされているときに
周波数がどのように表現されているのか教えていただきたいです。

e^(iωt)のcosとsinは周期2πで周波数1を持った関数である事から
f(t)cosωtだとすれば周波数ωをどのくらい含んでいるのかを
表していると理解はできるのですが、
isinωtがなぜ関わってくるのかが原理として分かりません。

複素数が周波数にどう関係しているのか？
e^(iωt)が周波数○であるのか？
この点を明らかにしたいです。よろしくお願いします。

回答No.2

info22

フーリエ変換によって定義されるF(ω)は、
重み関数e^(iωt)が複素数ですから、
複素数になります。
ωは2πfでfは周波数でf=-∞～∞[Hz}の範囲なので数式上は負の周波数 fも現れます。
F(ω)は複素数で
|F(ω)|はスペクトル密度（正の実数）です。
φ(ω)＝arctan(Im(F(ω)/Re(F(ω))は位相でωの奇関数（実数）となります。
isinωtがあるため、F(ω)が複素数になり、同時にこのことは、負の周波数f(=ω/2π)も出てきます。
虚数項と負の周波数により、
スペクトルの位相φ(ω)とスペクトル特性|F(ω)|=|F(ω)F(-ω)|と周波数振幅特性φ(-ω)が表現でき、また二つの特性からf(t)が再現できるのです。
しかし、負の周波数fや位相が虚数成分と深くかかわっていて、現実の波形f(t)やスペクトル周波数成分の位相と密接にかかわっているのです。

>isinωtがなぜ関わってくるのかが原理として分かりません。
式の中の i*sinωt のだけをピックアップして意味づけをしようとしても余り意味がありません。この項があることで、各周波数成分の位相と同時に負の周波数の概念が生まれます。

>複素数が周波数にどう関係しているのか？
複素数は位相や負の周波数の概念を生み出しています。

>e^(iωt)が周波数○であるのか？
周波数そのものはこの式の中のωを使って扱われます。

回答No.1

e_o_m

質問者様の疑問がはれるかどうか疑問ですが、参考までに

角周波数ω(周波数f=ω/(2π))を持つ実際の波というのは　cosωt　とか　sinωt　で表すことが出来ますね。
しかし三角関数で表してしまうと計算が面倒なので、"便宜的"に　exp(iωt)　を波として表します。実際はこの実部をとった
Re{exp(iωt)}=cosωt　がホンモノの波ですが、exp(iωt)でも角周波数ωを持つ波と言えますね。
それと同じようにF(ω)=∫[-∞→∞] f(t)exp(iωt) dt
　は角周波数ωの波をどれくらい含んでいるのか、ということがいえそうですね。

isinωtがなぜ関わってくるのかを、原理的に説明するのは無理かと思われますので、定性的に理解する方が大切だと思います。

参考になりましたら幸いです。