ホワイトガウシアンノイズのスペクトル強度の頻度分布

質問

ホワイトガウシアンノイズを一回計測すると、そのパワースペクトルはバラつきますが、
その「強度の分布」はどのような分布となるのでしょうか。
すなわちスペクトル強度を横軸に取り、ある強度が出現する頻度を縦軸に取った頻度分布は、
理論的にどのような分布関数に従うのでしょうか。

じつは以前同じ質問をしているのですが、その時は私の質問の日本語が拙すぎたため、再びスレッドをたて御教授いただきたい次第です。
以前のスレッド (http://okwave.jp/qa4643321.html) では、
振幅スペクトルの強度分布はレイリー分布に従うのではないか、と御助言賜りましたが、
理論的裏づけについてはご存知ないとのことでしたので、再び質問させていただきました。

御助言いただく中で私の予想としては、
パワースペクトル強度は自由度２のカイ２乗分布（振幅スペクトル強度はカイ分布≒レイリー分布）に従うのではないか、
と思っているのですが、知識不足のため見た目でしか判断ができない状態です。

理論的に従うべき分布は何なのでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.2

imoriimori

#1です。
結局、「（フーリエ面で） X と Y が独立かつ同じ分散になるのか、ガウシアンなのか」、というご疑問に帰するのですね。そのことを読み取らないうえ、さらにはReyleigh分布をご承知ないようだとの勘違い、カイ分布とカイ二乗分布とのうっかり混同、ともに失礼しました。

以下、行きがかりもあって、掲示板汚しを恐れつつ出来る限り私見を記します。

「フーリエ変換の実部虚部は、完全に独立か」は、実部虚部ともに分散は同程度か、という問いと思ってよろしいでしょうか。そうだとして、私は次のように考えています。数式で示すことはできませんが。
（１）実部虚部ではなくて、絶対値と位相とする。実部と虚部が直交しているのと同様に、絶対値と位相も直交しているから、そういう見方をしても構わないはず。例えば実部の分散が虚部よりも大きいということは、位相が特定の方向（０度とか１８０度とか）を持つ傾向が強いということ。特定の位相を取る傾向というのはある種の癖であり、全くのランダムという白色雑音の特性としてはあり得ない。白色雑音のフーリエ変換としては位相もランダムであるはずだ。
（２）上記と同じことですが、次の考え方。
元の実空間の関数（あるいはデータ列）をｑとする。そのフーリエ変換がＱ。たとえばＱの実部の分散が虚部の分散より大とする。これは（ここで簡単のためqは実数とする。そのフーリエ変換がＱ。Ｑはエルミート共役、絶対値として原点対称なのだから）Ｑは実部の大きさが虚部の大きさよりも平均的には大ということ。これ即ち、ｑを偶関数と奇関数に分ければ、偶関数の成分が奇関数成分より大ということ。偶関数だか奇関数だかどっちかが優勢ということは、ｑの左半分だけデータがあれば、右半分のデータの傾向は多少なりとも推測できるということ。つまりｑの自己相関関数はゼロからほど遠い。それは白色雑音の定義にそぐわない。従って白色雑音ｑはフーリエ面Ｑで実部虚部同程度の大きさを持たねばならない。

「フーリエ面でガウシアンか」は、テストしてみた限りではｑの間に相関があるかないか（白色か否か）がＱがガウシアンになるかどうかを決める感じです。ｑが白色雑音ならＱはガウシアンになるらしいというのが仮に正しいとしても、その理論的説明には山勘で中心極限定理（central limitting theorem)が関係するんじゃないかと思う程度でなんともわかりません。

後は別の方のサジェスチョンにゆだね、一緒に学習させていただきます。

回答No.1

imoriimori

以前のスレッドに回答した者です。

Reyleigh分布の導出について(自分で調べて欲しかったのですが。。。）
二元平面（ｘ、ｙ）にガウシアンの確率密度分布がある。ガウシアンはｘ、ｙ方向ともに同程度の分散σ^2だとすると、次のように書ける。
P(x,y)=（1/(２πσ^2）Exp[ -(x^2+y^2)/（2 σ^2)]
ここでExpは指数関数の意味。
P(x,y)は、計測値がx,yという値を採る確率。原点からの距離をｒとするとr^2=x^2+y^2であるから
P(x,y)=（1/(２πσ^2）Exp[ -r^2/（2 σ^2)]と書ける。
さてこれを原点からの距離ｒにデータが位置する確率に直さねばならない。即ち半径ｒの円のどこかに位置する確率を求める。それには、円周長２πｒを乗じることになる。
∴P(r)=(r/σ^2）Exp[-r^2/(2 σ^2）]
これがRayleigh分布。
あなたの場合、雑音のフーリエ変換の実数部が上記座標ｘに、虚数部が上記座標ｙに、振幅がｒに相当します。

以上の論理からわかるように、ｘ、ｙ両方向同程度の分散のガウシアンでなければこうはならない。
ここで自明でない問題は、白色雑音のフーリエ変換の実数部と虚数部は必ず上記のような統計になるのかということ。
これは成立すると思いますが、手元資料を探しても適当な記述が見あたらないし、私にはその証明ができません。

ところで、あなたのいう自由度２のカイ２乗分布とは次のような式のことですね？
(1/4) r Exp[-r^2/8]
これは前記Rayleigh分布でσを２と置けば、≒ではなく全く同じ式です。

お礼

再びレスありがとうございます。
あまり波風立てたくなかったこともあり言及しませんでしたが、失礼ながらその程度のことは承知しております。
またレイリー分布はカイ2乗でなくカイ分布の特別な場合です。

その導出で求められるのは、
確率変数 X と Y が独立かつ同じ分散のときです。
しかしフーリエ変換の実部虚部は、完全に独立と見なして良いものでしょうか。

またそもそも、ホワイトガウシアンノイズのフーリエ変換の、実部虚部の値の頻度分布が、
理論的にガウシアンに従うかどうかもわからないので、質問させていただいております。

御承知いただければ幸いです。