合成抵抗の求めかた

質問

抵抗１オームの素子が２次元の格子状に接続され無限に広がっている。
このとき隣接する２つのノード間の合成抵抗を求めなさい。

この問題を学生のころ無理やり解こうと思ってメッシュ解析をやったんですが
サフィックスが多すぎて挫折しました。
ヒントによれば暗算でもできるそうです。気になるんでその後も時々考えるんですがうまくいきません。多分有名な問題だと思うのですが解き方を教えてもらえませんか？

回答No.1

motsuan · ベストアンサー

格子の無限に遠いところを接地します。１つの端子に電圧Ｖ／２をかけるとき流れる電流をＩとすると対称性から４方へ均一に、すなわち、Ｉ／４ずつ流れます。一方、今度は、その隣の端子に、－Ｖ／２だけ電圧をかけると、
同様に、Ｉ／４（向きも合わせて）だけ電流が流れます。あとは重ね合わせの原理で電圧Ｖを掛けたときひとつの抵抗１に電流Ｉ／２が流れるのですからＶ＝１×Ｉ／２＝Ｒ×Ｉより、Ｒ＝１／２となります。

無限大の格子を繰り込んで計算する（１次元の問題のように）と、どう回路を切り刻んでも上手くいきません。でも重ね合わせの原理を使うとこんなに上手くいくんですね。
物理の問題で、近接格子間を等確率で移動する電子のグリーン関数を求める問題では、問題を１次元化して繰り込んで解決するような方法があったと思いますがこんなに簡単ではなかったので、この線のアプローチは暗算ではむりかな？と思います。

お礼

ありがとうございます。
なるほどそう考えるとうまく行くんですね。
でも一つ疑問があります。前段で任意のノードに電圧V/2をかけますね。
このとき電流の流れる先は無限遠点になるわけですから当然抵抗も無限大。それでも電流が流れると考えて良いのでしょうか？
電気系出身者にしてこの愚問ちょっと恥ずかしいですがよろしければご教示ください。

回答No.3

ymmasayan

フォローが短かすぎて不親切だったかと思いましたが、
ご理解いただけたようですね。実は、かくいう私もあの
問題は、頭では理解できても、心で納得できていないと
いう状態です。（笑い）。

しつこく回答を求めるのが失礼かということですが私は
全くそうは思いません。このＯＫＷＥＢの有用性は私が
今更申し上げるまでも無いと思います。

せっかくの回答を得ても、まだ、理解しずらい時、再度、
回答要求することは、このＯＫＷＥＢの価値を高める事
だと思います。
また、仮に、失礼が有ったとしても、回答者は「無視」
という奥の手が有るのですから。

いろんな例を見ていますと、質問の不備、回答者の勘違
い、誤解、すれ違いなどが多発しています。
でも何回かやりとりして大体収束しています。

ただ、この欄が、宿題やレポートの家庭教師的に濫用さ
れているのは残念です。もっと自分で調べたり、自分で
考えたりする必要が有ると思います。せめて、ヒントや
考え方だけを得るレベルに止めたいですね。

今後ともよろしくお願いします。

お礼

大変、丁寧なご説明痛み入ります。私はgooから入った者ですので、使い方。運用の心得など分からないことが多いのです。その意味で大変勉強になりました。
また、ymmasayan様でも「頭では理解できても、心で納得できていないという状態です」とは心強いです。（失礼！）
さて、この問題は私なりに考えて一応理解したつもりです。まわりくどい考え方になるのですが、下記します。
問題の回路を無限遠点をＧＮＤ、隣接する２端子Ａ，Ｂを入力とする２ポートと考え、Ｔ型等価回路を想定します。Ｔの中心を仮想ノードＸとします。Ｔの横棒部分の２つの抵抗は対称性から等しくなるので、Ｚｘとします。Ｂを開放した場合、ＢとＸは等電位になります。この状態でＺｘを考えるとＡからＢと等電位な全ての点までの並列抵抗に等しくなり、1/4オームです。
求めたいＡ，Ｂ間の抵抗はＺｘの２倍ですから1/2オームになる。ということです。
　自分で読み返すと結局motsuan様のお答えの言い換えに過ぎないのですが、理解の仕方は人それぞれと言いますし、誰かの参考になればと思い書いてみました。
回答者の皆さま、本当にありがとうございました。

回答No.2

ymmasayan

再質問に対して回答者の方からフォローが無いようなので、
私がフォローさせて頂きます。
まず無限点は全部接地するという前提です。（無限の数）
無限に遠いので、直列の抵抗はおっしゃるとおり無限大です。
しかし、並列になっている数も遠くに行くほど無限大になります。
この合成で、有限の抵抗値に落ち着くわけです。

お礼

ありがとうございます。私初心者なもので、あそこでしつこく回答を求めたのは
とっても失礼だったのではないかと後で考えるとひやひやしてました。
motsuan様すみませんでした。
ymmasayan様フォロー感謝します。仰る通りですね。私の考え不足でした。自分で納得するまでもう少し考えます。ですのでこのスレッドは今しばらく開けておきます。ご容赦ください。