整数問題◆この答案で本当にいいの？

質問

昨日も質問したのですが、「問題がないと」という指摘があったので、再度問題文も掲載して質問させて頂きます。

問題：
nを自然数とする。n，n＋2，n＋4がすべて素数であるのはn＝3の場合だけであることを示せ。

n、n＋2、n＋4
1 3 5
2 4 6
3 5 7
4 6 8
5 7 9
6 8 10

答案：
1)n=3のとき、確かにn，n＋2，n＋4は全て素数となる。
2)n≠3のとき、n，n＋2，n＋4のうち少なくとも１つが合成数であることを示すために、n≠3のとき、n，n＋2，n＋4全てが素数となると仮定してその矛盾を示す。

（上表より、全ての場合において3の倍数があるから、）
n=3k、3k＋1、3k＋2（ｋ：整数）とかける。

ここから、実際に上3式をn，n＋2，n＋4に代入して矛盾を示していきます。

◆質問はここから…
n=3k＋1のとき、
参考書では，「n＋2=(3k＋1)＋2=3(k＋1)　これは合成数である」
となっているのですが、k=0のときは、
n＋2=(3k＋1)＋2=3(k＋1)=3なり、これは素数です。
k=1,2,3・・・のときは確かに合成数になりますが、k=0のときは素数。

答案を書く際、（ただしk≠0)と書いておかなくてはダメですよね？
参考書ではそのような注意がないのです。

昨日質問した際、
「問題文が書いてないのは辛いが、当然にも、k＝1、2、‥‥である。」という回答を頂きました。
しかし、n=3k＋1とした場合、nは自然数なのでkは負にこそならないものの、k=0のとき、n=1となり自然数であることを満たします。

何か私がとんでもない勘違いをしているだけでしょうか…。
回答よろしくお願いします。

参考までに、昨日質問したページのURLを貼っておきます。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4526910.html

回答No.4

ghiaccio · ベストアンサー

k=0のとき

n=3k+1=1　で　素数でない
n＋2=(3k＋1)＋2=3(k＋1)=3　で　素数、
n+4=(3k+1)+4=3k+5=5　で　素数

なので「全てが素数となる」という仮定に矛盾します。
したがってk≠0は不要です。

お礼

なるほど！
n＋2にだけに気をとられていました。
k=0でも、他が合成数になるので、わざわざ断っておく必要はないのですね。

1番納得のいく回答だったので良回答としました。

回答No.5

arrysthmia

冒頭に「n≠3のとき、n，n＋2，n＋4全てが素数となると仮定してその矛盾を示す」
と宣言しておきながら、以降の証明では、n を 3 で割った余りで場合分けして
n, n+2, n+4 のなかに実際に合成数があることを挙げているだけで、ちっとも
背理法になっていないから、話が変になるのでしょうね。

回答No.3

arrysthmia

「とんでもない勘違い」と言うほど大層なものではありませんが、
その参考書の解答例には、御指摘どおり雑なところがあります。
「答案」としては、不完全と言われるでしょう。

1)　n=1 のとき、n は素数でない。
　　n=2 のとき、n+2 も n+4 も素数でない。
　　n=3 のとき、n, n+2, n+4 は 3, 5, 7 であり、全て素数である。
2)　n≧4 のとき…

と修正すれば、そのような揚げ足取りの余地をなくすことができます。

お礼

すごく参考になりました。
別回答例として、納得のできるものだったので次点とさせて頂きます。

回答No.2

waseda2003

「n，n+2，n+4全てが素数となると仮定して」議論を始めたのだから，
n=3k+1（kは整数）のときは，必然的に k≧2 となりますよね。
また，「n，n+2，n+4全てが素数」を前提としていますから，わざわざ
「kは1以上の整数」とことわらなくても，「n，n+2，n+4全てが素数」
となるようなkの範囲で考えていることになります。
まあ，話が長くて最初に述べたことを忘れたのでしょう。

ちなみに，この問題はもっと簡単に考えることができます。
n，n+2，n+4は３で割った余りが互いに異なるので，
いずれか一つは必ず３の倍数（余り０）となり，
すべて素数という仮定からその３の倍数は３と一致します。
あとは n=3，n+2=3，n+4=3 の各場合に分けて吟味するだけ。

回答No.1

koko_u_

>答案を書く際、（ただしk≠0)と書いておかなくてはダメですよね？
>参考書ではそのような注意がないのです。

抜けてるんでしょうね。

>答案を書く際、（ただしk≠0)と書いておかなくてはダメですよね？

そして、k = 0 の場合を別に検討する必要があるでしょう。
n = 3k + 1 = 1 の場合、n + 2 は素数ですが n は素数ではありません。