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整数問題
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- bgm38489
- ベストアンサー率29% (633/2168)
解の公式を用いるということは― 全ての解が整数。まず、全ての解が有理数であるためには、平方根が整理されなければいけない。即ち、平方根内が平方完成されるということ。後、整数であるためには、即ち分数でないためには、解の公式でxの係数が偶数の場合は、a分のとできた。この方程式のx^2の係数は1.即ち、xの係数が偶数なら―
- haberi
- ベストアンサー率40% (171/422)
解の公式のルートのなかはm^2*n^2-4m-4nでしょ。 そこに#1さんの書いたようにmn=α+β、m+n=αβを代入したら・・・
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
>解の公式、判別式を用いた方法はないでしょうか。 あまり、気が進まないが。。。。 面倒な事が嫌いなんでね。W 考えられるのは、以下の方法だが。。。。。 条件から、判別式=(mn)^2-(m+n)^2=k^2、‥‥(1)(kは0以上の整数)にならなければならない。 従って、(mn+m+n)(mn-m-n)=k^2 であり、mn+m+n>mn-m-n であるから。。。。と、ここまでは良いが、ここから先をどうするか? (1)を(mn+k)*(mn-k)=(m+n)^2 としても さほどの意味もないようだし?
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
ミスった。 (誤)従って、(3)が成立するのは、(α-1)*(β-1)=(m-1)*(n-1)=1の場合のみ (正)従って、(3)が成立するのは、A=(α-1)*(β-1)、B=(m-1)*(n-1)とすると、(A、B)=(1、1)、(2、0)、(0、2)の3通り。
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
2つの解をα、βとすると、解と係数から、α+β=mn ‥‥(1)、αβ=m+n ‥‥(2) (1)と(2)から、(α-1)*(β-1)+(m-1)*(n-1)=2 ‥‥(3). mとnは自然数より、2解の和も積も正から、2解共に正の整数である。 従って、(3)が成立するのは、(α-1)*(β-1)=(m-1)*(n-1)=1の場合のみ。 この続きくらいは、自分で、やって。
補足
別解はないでしょうか。解の公式、判別式を用いた解法は?。
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補足
解と係数の関係からでなく、解の公式、判別式を用いた方法はないでしょうか。