０の０乗を１と考える

質問

べき乗x^n を、1 に x を n 回掛けることと考える場合がある。
その場合は 0^0=1 である。
これは、総乗を使って x^n=Π[i=1,n]x と考える場合も同じである。
総乗の場合も、何も掛けないこと、つまりΠΦは 1 となる。
この時、べき乗の定義を、次のように考えていることになる。
・x^0=1,
・x^(n+1)=x^n*x (n>=0).
この変更により変化するのは、0^0 の値だけである。

以上の文章に、間違いはありますか？

なお、これに従ったべき乗に、利便性や0^0での連続性はありませんが、
それは一般的なべき乗でも同様であり、
どちらが正しいかを数学的に証明することはできません。

回答No.22

arrysthmia · ベストアンサー

←No.21 補足
二つの問題が、ゴッチャになっていますね。
一つは、実数の有理数乗を拡張して、実数乗が連続になるようにできるか？という問題。
もう一つは、複素多価のべき乗を、連続な枝の集まりに整理できるか？という問題。
No.18 までは前者を、No.21 は後者を、問題にしているようです。
後者の説明には、前者の結果を使います。前者の証明は、後でまとめて書くことにして、
まづは No.20-21 の応答を完結させるために、後者から話を始めます。

正の実数 a と有理数 m/n に対して、「a の　m/n 乗」を y^n = a^m の解 y と定義すると、
このような y は、複素数の範囲で n 個、正の実数の範囲で 1 個、存在します。
y を x の関数と考えると、前者は複素多価関数、後者は実(一価)関数となります。
区別のため、前者を a↑x、後者を a^x と書くことにしましょう。
a^x を x について連続な実関数に拡張できることは、後で証明することとして、
ここでは仮定しておきます。

a↑x と a^x の間には、a↑x = (a^x) exp(2πixn) （ただし、n は整数）という関係が
あります。ここで、n は任意の整数であり、当面、x ごとに異なると考えてよい。
n が x の関数であることを強調して n[x] と書くことにしましょう。上式より、
| a↑(x+ε) - a↑x | = (a^x) | 1 - (a^ε) exp{ 2πix(n[x+ε] - n[x]) + 2πiεn[x+ε] } |
という式が成り立ちます。a^x の連続性は仮定しており、a > 0 より lim[ε→0] a^ε = a^0 = 1
にも問題がないので、この式から、ε→0 のとき a↑(x+ε) → a↑x か否かは、
n[x+ε] → n[x] であるか否かと同値でることが分かります。
n[x] は、整数値をとる関数ですから、連続であれば、定数関数に限られます。
つまり、a↑x の連続な枝は、a↑x = (a^x) exp(2πixn) （ただし、n は整数定数）に限られる
ということです。

a↑(1/2) を、あり得る二つの値の中から一つ選択したということは、
exp{2πi(1/2)n} の値が分かったということです。exp は周期 2πi を持ちますから、
それは、n を 2 で割った余りが分かったことに等しい。同様に、
a↑(2/3) の値を選べば n を 3 で割った余りが、a↑(11/13) の値を選べば n を 13 で割った余りが、
決まる。これだけでは、n の値は決まらず、a↑(1/e) の値も決まりません。

無理数 x に対する a↑x の値を特定するためには、n を決定する必要があります。
例えば、全ての素数 p に対する a↑(1/p) を選択するなどすれば、a↑(1/e) を決めることが
できるでしょう。

お礼

＞無理数 x に対する a↑x の値を特定するためには、n を決定する必要があります。
＞例えば、全ての素数 p に対する a↑(1/p) を選択するなどすれば、a↑(1/e) を決めることができるでしょう。

これは、実際にやってみれは真偽を判定できます。
すべての素数に対して、余りが 1 などと決まれば、本当にa↑(1/e) が決まりますか？

私は、一番楽そうなのをやってみました。
2 で割った余りが 1 で、その他の素数での余りが 0 と仮定しました。
この場合、a↑x はすべての有理数に対し実数値となります。
a↑(1/2)は負の数、a↑(1/p)は正の数です。
2πn(1/e)=2πm と置けば 1/e=m/n となり n=0 でなければ m は整数ではありません。
同様に 2πn(1/e)=π(2m+1) と置けば m は整数ではありません。
つまり a↑(1/e) は正の数でも負の数でもなく、共役複素数が答えになるでしょう。
私に計算できるはここまでで、具体的な答えは出ませんでした。
＃n=[+-]3以上の素数の積にはなりますが…

ありがとうございました。

回答No.25

arrysthmia

枝葉末節の末節で恐縮ですが、貴方の感じ方は、間違っています。

{ (m_i, d_i) } が与えられる。
その中で有限個を除いて d_i が一致しているか否か？は、
{ (m_i, d_i) } を知っているのだから、判定できる。
もし yes であれば、無限個現われる d_i が n である。

最初に「n を…とする」から始まっている訳ではありません。
無理に循環論に見せかけようとして、話が変わっていますよ。

＞ いくつかというのが有限であれば、非負整数 n は必ず存在します。
＞ たとえば1000個の素数p_iでの余りが１なら、
＞ n = (Π[i=1,1000]p_i)*j+1 (j∈N)

では、n が可算無限個あって、a↑x がひとつに決まりませんね。
それと、

＞ 全ての素数に対して余りが 1 なら、n は 1 です。

を比較してみると、d_i が無限個あることが本質的である
ことが見えてくるでしょう。

お礼

＞最初に「n を…とする」から始まっている訳ではありません。

「n を…とする」は神の意思とでも言いましょうか、結局は知りえない操作です。
ただ、そういう意思を感じてしまう問題だな、と思っただけです。
循環論ではありません。d_i から n は求まります。

＞d_i が無限個あることが本質的である

無限級数のように考えていたら、十分大きな項(=d_k)が分かれば答がでるのが不思議なだけです。
よく考えれば、無限数列と同じなんですけどね。

ありがとうございました。

回答No.24

arrysthmia

＞ それはつまり、無限個の素数についての余りを決めようとすれば、
＞ n を知っている必要がある、ということです。
＞ その余りによって、また n を求めようとするのですから、堂々巡りではあります。

堂々巡りではないでしょう。
自然数 m と、m 未満の非負整数 d の組、(m,d) がいくつか { (m_i, d_i) } として与えられたとして、
∀i, n ≡ d_i (mod m_i) となるような非負整数 n が存在するか？ を考えるとき、
それを判定する為に、事前に n を知っている必要はありません。

∃k, { i ≧ k ⇒ d_i = d_k } ∧ { i < k ⇒ d_k ≡ d_i (mod m_i) } は、
{ (m_i, d_i) } に関する知識だけで検証することができ、その結果、n は d_k として求まります。
後件先取は、どこにもありません。

要するに、無限個の (m_i, d_i) の内、有限個を除いて d_i が同じ値であり、
除外した有限個の (m_i, d_i) が、それに従っていればよいのでした。
先に { m_i } を素数集合としたのは、無用だったかも知れません。

＃新シリーズにも、是非お邪魔します。

お礼

＞自然数 m と、m 未満の非負整数 d の組、(m,d) がいくつか { (m_i, d_i) } として与えられたとして、
＞∀i, n ≡ d_i (mod m_i) となるような非負整数 n が存在するか？

いくつかというのが有限であれば、非負整数 n は必ず存在します。
たとえば1000個の素数p_iでの余りが１なら、
n = (Π[i=1,1000]p_i)*j+1 (j∈N)
で求まります。

＞∃k, { i ≧ k ⇒ d_i = d_k } ∧ { i < k ⇒ d_k ≡ d_i (mod m_i) }

後半は、連続性が保たれるための条件ですね。
重要なのは前半の条件で、d_k = n に過ぎません。

私はどうしても次のように感じてしまいます。
n を…とする。
d_i は、…となる。
d_i の値から、n を求めよ。

たしかに、d_i から求まるのは違いないですが、問題の最初に答が書いてあるという気分です。

ところで、n の求め方は枝葉末節で、原点への近づき方はどんな曲線になるかと思っていたら、直線しかないと分かり、有理数乗の存在は確かですから。

ありがとうございました。

回答No.23

arrysthmia

←No.22 補足
細部に目が行っているようですが…。肝心の、
有理数 x=m/n においては y^n=x^m によって定義される y=x^(m/n) と一致し、
かつ、実数 x について連続な関数 a↑x は、
a↑x = (a^x) exp(2πixn) （ただし、n は整数定数）に限られる
という話は、理解できたんでしょうか？ 心配です。

「全ての素数 p に対する a↑(1/p) を選択する」は、
{ 1/2, 2/3, 11/13 } のような不十分な条件とならないように、
条件を満たす a↑x が二つ以上は存在しないための、必要十分条件です。
当てはまる a↑x が確かに一つ存在するためには、a↑(1/p) の値の選択が
支離滅裂なものであってはいけません。

少しでも考えてみれば、
p が十分大きいとき、n を p で割った余りは n に一致する
ことくらいは気が付くでしょう。 n が一つ存在するためには、
有限個を除外した素数 p については、
「p で割った余り」が同じ値でなくてはならない。
その「同じ値」が、すなわち n です。
除外された、小さい素数 p についても、
「p で割った余り」は、それに整合する値でなくてはなりません。

全ての素数に対して余りが 1 なら、n は 1 です。

3 以上の素数に対して余りが 0 なら、n は 0 でなくてはなりませんから、
2 で割った余りが 1 になるような n は存在しません。
つまり、有理点上でそのような値の組をとる連続関数 a↑x は存在しません。

ただ選択しさえすれば何でもよい、というものではないのでした。

お礼

＞a↑x = (a^x) exp(2πixn) （ただし、n は整数定数）に限られる
＞という話は、理解できたんでしょうか？

理解できてますし、反論はありません。

＞p が十分大きいとき、n を p で割った余りは n に一致する

考えてみればその通りですね。
それはつまり、無限個の素数についての余りを決めようとすれば、
n を知っている必要がある、ということです。
その余りによって、また n を求めようとするのですから、堂々巡りではあります。
結局、a↑x が連続であるためには、一定の割合で回転するようにしなければならない、ということですね。

x^y=lim[u→x,v→y]u^v がべき乗を求める一つの方法であることも、理解しました。
とすると、0^0=1 を納得させるには、lim[y→0]0^y=1 を証明する位のことをやらないとダメみたいですね。

ありがとうございました。

＃新しいシリーズを始めましたので、そちらへも厳しい指摘をしてくれると助かります。

回答No.21

arrysthmia

←No.20 補足

＞ まず、２個あることをどこから求めたのかを示してください。
＞ 連続性を使って求められますか？

代数学の基本定理を使って求めました。代数学の基本定理を証明するには、
多項式が表す関数の連続性を使って、中間値定理に持ち込むことが不可欠です。
たいていの代数の教科書に書いてあります。

＞ 私が使えないと言っているのは(1/2)^x の連続性の方です。

ナゼ「使えない」と思ってしまうのでしょうね。不可解です。
x^(1/2) の x に関する連続性が、この関数を定義する上で重要であることは
理解したのですね？ それは、2 以外の自然数 n における x^(1/n) でも同様です。
無理数 y における x^y を考える場合、y のどんなに小さな近傍にも
無数の有理数 m/n が含まれますから、各 x^(m/n) において枝を選択する
ことによって、x^y の値が可算無限個の中から１個に絞られるのです。
ここでも、x^y の１個の値を特定するために、連続性を用いた枝の抽出を
行っています。

お礼

＞各 x^(m/n) において枝を選択することによって、x^y の値が可算無限個の中から１個に絞られるのです。

どういうルールですか？
1/2の枝の選択と2/3の枝の選択と11/13の枝の選択の間には、どんな関係がなりたつのですか？
その結果、x^(1/e)の枝のどれに絞られますか？
＃実数になる枝以外で。
例を上げて頂けると分かりやすいですね。

ありがとうございました。

回答No.20

arrysthmia

←No.18 補足
＞ 有理数乗を求めるには、指数法則を使うか、lim[u→x]u^y を使うかしかないのである。
＞ x^y=lim[u→x,v→y]u^v を採用した場合、有理数乗すべてが未定義となりかねないのでは？

惜しい。有意義な考察を書いてくれましたが、肝心の結論部分で「なりかねない」に
何の論理的な理由もないのが点睛を欠いています。
詰まるところは「何だか難しそうだ」と言っているに過ぎず、そこまでの深い考察が
無になってしまいました。

「多価だから定義できない」という話運びは噴飯物で、多価関数から枝を抽出するためにこそ
関数の連続性を仮定するのです。そうでなければ、x^(1/2) すら定義することができなくなります。

正の実数 x に対して、y^2 = x を満たす複素数 y は、２個あります。(たまたま、２個とも実数です。)
その２つを √x と -√x と書きますが、指数法則を満足する関数 x^(1/2) を考える場合、
その値は、各 x について、 √x と -√x の中から好きに選ぶことができます。
0 < x ≦ 1 のとき √x で、1 < x のとき -√x のような関数を考えてもよいし、
x が有理数のとき √x で、x が無理数のとき -√x のような関数を考えてもよい。
正の実数 x が連続体濃度 a1 だけある以上、そのような関数のバリエーションは 2^a1 だけあり、
a1 より真に高濃度になります。それだけ無闇やたらに在る候補の中から、平方の逆関数として
「普通は」√x と -√x の２個を考える理由は、x > 0 で連続なものが、その２つだけだからです。

数学史上、そのような慣習になっています。単なる慣習で、論理的な帰結ではありませんが、
x^(1/2) が、x が有理数のとき √x で、x が無理数のとき -√x になってしまう世界よりは、
遥かに有用な考え方だと思います。

お礼

＞正の実数 x に対して、y^2 = x を満たす複素数 y は、２個あります。

まず、２個あることをどこから求めたのかを示してください。
連続性を使って求められますか？
そうでなければ、役立たずではないですか？

＞指数法則を満足する関数 x^(1/2) を考える場合、

ここで連続性を利用しているのは、x^(1/2) という関数です。
私が使えないと言っているのは(1/2)^x の連続性の方です。
だから、べき乗では x^0 だけ連続性を仮定しようと言っているのです。

ありがとうございました。

回答No.19

yumisamisiidesu

他の方の回答を熟読したわけではありませんが
0^0を1と定義することは至極妥当だと思います。
ただし、この定義をしたとき、指数関数は0で連続性は成り立ちません。
つまりlim(x→0)(0^x)=0は成り立ちません
x>0 ⇒ 0^x=0 はわざわざ底が0の場合に個別に定義する必要がなく
通常の定義から証明できます。
0^0は1と定義するのが妥当だと思います。
x<0 ⇒ 0^xは定義しないでおくのが妥当だと思います。

つまり、指数関数は底や指数の値が高校で習うような範囲(底>0,指数:実数)であれば、連続ですが、複素数まで拡張すると連続でない所も出てくるのです。連続性だけでなく指数法則も必ずしも成り立たなくなってきます。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa1300140.html

お礼

＞他の方の回答を熟読したわけではありませんが

いえいえ、そういう気遣いは一切不要です。
一連の質問を始めて、もう３ヶ月目ですので、私ですら全体把握は困難です。
その場その場での批判を頂けたらと考えています。
参考URLも参照させていただきました。
完全には理解してない段階での回答となることをお許しください。

＞0^0を1と定義することは至極妥当だと思います。
＞ただし、この定義をしたとき、指数関数は0で連続性は成り立ちません。

定義をしなかったとしても、連続性が成り立つ訳ではないので、それは気にしていません。

＞x>0 ⇒ 0^x=0 はわざわざ底が0の場合に個別に定義する必要がなく
＞通常の定義から証明できます。

まず、「通常の定義」は存在しません。
そして、そこを曖昧にはできません。
なぜなら、0^x=0 を導く論理が、同時に 0^0=1 を導いていると考えるからです。
指数法則や連続性を仮定して 0^x=0 を導いておきながら、同じ仮定を 0^0 に適用しないから 0^0=1 が未定義になるのです。
0^x=lim[a→0]a^x という定義が、x を実数にできて使いやすいですね。

＞0^0は1と定義するのが妥当だと思います。
＞x<0 ⇒ 0^xは定義しないでおくのが妥当だと思います。

0^0=0 と定義することもできます。
ただし、その場合 x<0 ⇒ 0^x=0 というオマケが付いてきますが…
今の所、0^(-1)≠0 という条件で排除していますが、できれば他の何かから導きたいですね。

＞連続性だけでなく指数法則も必ずしも成り立たなくなってきます。

指数法則は成り立たなくてはなりません、と思っています。
複素数への拡張は難しそうですね。
特に、対数関数は log(a,x*y)=log(a,x)+log(a,y) が大変です。
log(0,x) では
log(0,1)={x | x∈R, x=0}
log(0,0)={x | x∈R, x>0}
などと考えてますけど。

ありがとうございました。

回答No.18

arrysthmia

←No.17 補足
＞ 念のために聞きますが、あなたの頭の中では、x^0 は x=0 で定義されていないと最初から決まっていませんか？

私は、0^0 を定義しないほうが良い理由について述べています。0^0 を定義することによって損なわれるものが
いかに大きいか、どのような不都合が生じるのか、についてです。

念のために聞きますが、貴方の頭の中では、0^0 が定義されているか定義されていないかが最初から決まっており、
どちらであるかが論理的に導出できる…ということになっていませんか？
​http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html?ans_count_asc=20​ No.7 の「したければどうぞお好きなように」が
いまだに理解できていないようですね。アレは「無駄なコメント」どころではなく、「定義する」ということは
どういうことか、再考する機会になるものです。そこが分かっていないから、こんな頓珍漢な返答をするのですよ。

＞ x^2 には無条件に x=0 を代入できて、x^0 に条件が付くのは何故ですか？

x^0 に x=0 を代入することに条件がつく訳ではありません。x^0 に x=0 を代入したものを 0^0 とするのは良くない
という話です。0^y に y=0 を代入しても表記は 0^0 になり、字面上区別がつきません。
x^0 の定義を x=0 まで拡張する際に自然な 0^0 の値と、0^y の定義を y=0 まで拡張する際に自然な 0^0 の値が、
一致しているのなら、それでも構いませんが、lim[x→+0] x^0 と lim[y→+0] 0^y の値が異なる以上、
0^0 という表記の意味を「俺の 0^0 」に限定することは、話を混乱させるだけでしょう。

これは、「 0^0 」ばかりでなく、「 0 の 0 乗」という表記・用語についても同様です。

お礼

＞0^0 を定義することによって損なわれるものが
＞いかに大きいか、どのような不都合が生じるのか、についてです。

これ、まだ聞いていません。
覚えがあるのは、以下の分くらいです。
・高校生が間違えやすい。
・連続にならない。（でも最初から不連続な関数です）

＞0^0 が定義されているか定義されていないかが最初から決まっており、

いいえ、0^0=1 を定義しても、矛盾がない理論ができるということを示そうとしているだけです。
それと未定義のどちらを選ぶかについては、興味はありません。
ですので、0^0 は未定義でなければならないという意見についてのみ、反論させていただきます。

＞x^0 に x=0 を代入したものを 0^0 とするのは良くないという話です。

つまり、未定義ではないが、表記できないということですか。
面白い考え方ですね。

＞0^y の定義を y=0 まで拡張する際に自然な 0^0 の値が、

この値は存在しません。自然な拡張などありません。
lim[y→+0] 0^y がそんな値でないことは納得してくれたと思っていたのですが…
lim[y→+0] 0^y と 0^0 には何の関係もないですから、0^y を使って 0^0 の自然な値を出すことはできないのです。
関数0^y に y=0 を代入した場合の妥当な推定値は 1 です。
＃もちろん、そのためには x^0 で推定する必要があります。

ありがとうございました。

補足

実数の底、実数の指数で表される指数関数 x^y を考える。
ただし、値域は複素数とする。
指数が整数の場合、値は一つである。
指数が有理数で既約分数として m/n で表される場合、n 個の値となる。
指数が無理数の場合、絶対値が等しい可算無限個の値となる。

極限値を考える。
y が整数の場合、lim[u→x]u^y は 1 個の値に収束する。
y が有理数で m/n で表される場合、lim[u→x]u^y は n 個の値となる。
y が無理数の場合、lim[u→x]u^y は 絶対値が等しい可算無限個の値となる。
y が整数の場合、lim[v→y]x^v により x^y を求めることはできない。
つまり、x^y=lim[u→x,v→y]u^v で定義した場合、x の整数乗は未定義となる。

ただし、「求めることはできない」は言い過ぎかもしれない。
整数 y の近傍には有理数 m/n が必ず存在し、その共通の値は一つだからである。
でもそれは、整数乗の値が一つであることを知った上で求めたに過ぎない。
また、整数以外の有理数については、n 個の値はやはり求められない。

結局、指数関数の定義は、指数が整数、有理数、無理数という順序で拡張されるもので、
無理数の値から有理数の値を連続性（極限値）のみによって求めることはできない。
有理数乗を求めるには、指数法則を使うか、lim[u→x]u^y を使うかしかないのである。
x^y=lim[u→x,v→y]u^v を採用した場合、有理数乗すべてが未定義となりかねないのでは？

＃以上の話は、x≠0 での話をしています。
＃x=0 では、例外的に値が 1 個に収束します。

回答No.17

arrysthmia

←No.16 補足

同じことの繰り返しに、流石に少々飽きてきました。
機械的に話をはぐらかすだけでなく、意味のある反論をすることはできないんですか？

＞ つまり、0^0=0 には何の根拠もなく、0^0=1 という推定だけが存在するということです。

誰が何回説明しても、ここに戻ってしまうようですが、
0^0=0 でないことは、0^0=1 であることの根拠にはなりません。
0^0=0 だと主張している人は、ここには居ないから、
わざわざ 0^0=0 を否定してみるもでもない。何を言ってんだか。

＞ x^0 は単なる x^0 でしかありません。
＞ 理解できませんか？

x^0 は単なる x^0 でしかありません。x^0 に x=0 を代入したものを 0^0 とみなすためには、
そうして良い理由が必要です。そうしてはいけない理由として、x^0 で x→+0 としたものと
0^y で y→+0 としたものですら一致しないのに、「x^0 に x=0 を代入した」という経過を
付記せず、黙って 0^0 と書いてはマズかろう　と言っているのです。理解できませんか？

＞ こんな関数、今は出していませんよ。

出さないから、理解できなかったのです。それを考えたほうが良い、というのが No.15 です。
理解不理解以前に、目を通していないのでは、話になりません。

お礼

前半は了解しました。
無意味に煩わしてしまったのなら、すみません。

後半は、また見たことがない理論が出てきました。
＞x^0 に x=0 を代入したものを 0^0 とみなすためには、
＞そうして良い理由が必要です。
変数の代入に条件があるなんて、初めて聞きました。

x^2 には無条件に x=0 を代入できて、x^0 に条件が付くのは何故ですか？
何故いつも、x^0 の 0 を変数に置き換えるんですか？
2 はそのままで、0 は y に置き換えるという、その置き換えのルールを言葉で説明してください。

念のために聞きますが、あなたの頭の中では、x^0 は x=0 で定義されていないと最初から決まっていませんか？
私は、x^y の関数が未定義になるかどうかの判定に、lim[u→x,v→y] exp(v log u) という変換を行い、その結果で判断しているように見えたので、同じ事をx^0 に行ったらどう判断するのかと思ったんです。
ところが、そういう変換を行わずに、式を見ただけで未定義と決めているようですね。

ありがとうございました。

回答No.16

arrysthmia

←NO.15 補足
＞ ＃私とあなたは、別々の意味で言っているのだと思います。
＞ lim[x→+0]0^x が 0^0 の妥当な推定だと思っているなら、それを証明して、という意味です。

馬鹿言いなさんな。
x^y の連続性から、0^0 の値を導ける訳がありません。
0^0 に妥当な推定は存在しない　という話をしているのだ　ということすら理解できないのなら、
それに賛成も反対もないでしょう。
lim[x→+0] 0^x が 0^0 の妥当な推定でない理由を、No.15 で再度説明したのです。
脈絡のない返事にも限度というものがあります。

＞ f(x)が与えられた時、lim[u→0]f(u)=1 と計算されたとして、f(0)の値が未定義と判断される理由は何ですか？
＞ あなたは、2変数の場合、g(x,y)=lim[u→x,v→y]f(x,y) を計算することで、その関数g(x,y)がある点で定義
＞ できるかどうかが決定できるという話をしました。
＞ でも、x^0 については、それでは判定できないという話をするのですね？

私は、f(x,y) = lim[u→x,v→y] f(u,v) であるように、f(x,y) を定義するのが良い　と主張しました。
決して lim[u→x,v→y] f(u,v) = lim[u→x] lim[v→y] f(u,v) ではないのだ　ということも解説しました。
賛成するにせよ、反対するにせよ、少なくとも話が理解できたのならば、f(x,y) を lim[u→x] f(u,y) で
定義することはできないのだ　ということは分かっているハズなんですがね。…分からなかったんでしょうね。
正直、ガッカリしました。

お礼

＞lim[x→+0] 0^x が 0^0 の妥当な推定でない理由を、No.15 で再度説明したのです。

両者は何の関係もないのですね。
つまり、0^0=0 には何の根拠もなく、0^0=1 という推定だけが存在するということです。
＃未定義という根拠もちょっとは存在するようですが…

＞決して lim[u→x,v→y] f(u,v) = lim[u→x] lim[v→y] f(u,v) ではないのだ　ということも解説しました。

こんな関数、今は出していませんよ。

x^0 という関数から、x^y を連想しなければならない理由を聞いています。
x^2 という関数があった時、x^2y のように勝手に変数を付け加えて、x^2 は x=0 では未定義と言っているようなものです。
x^0 は単なる x^0 でしかありません。
理解できませんか？

ありがとうございました。

回答No.15

arrysthmia

←No.12 補足
＞ なら、それでもいいです。
＞ 私にも、これ以上は思い浮かびませんし。

それは、「指数を実数まで拡大するには連続性に依るしかない」に同意した
ということですね。
書いた私も、随分大雑把な言い方だと思いながら書いたのですが、
賛成頂けたのなら幸いです。その上で、
「実数指数を定義するために連続性に依るのなら、不連続になっていまう 0^0
まで定義を広げるのは、勢い余って一貫性を欠いたと言わざるを得ません。」
については、どう思うのですか？

＞ 逆に、0^0 が連続性で求められることを示してもらえませんか？

馬鹿言いなさんな。
「普通の」定義に従う限り、0^0 の値を何と定義しても
x^y は (x,y) = (0^0) において連続にはならない。
なぜなら、lim[x→0,y→0] x^y が収束しないから。
これを理由に、0^0 は未定義としておくのが宜しかろうと思う
という話を、延々しているのです。
x^y の連続性から、0^0 の値を導ける訳がありません。

＞ x^0=lim[u→x]exp(0*log u)
＞ この定義ならば、x=0 で 1 になります。

そうでしょうね。
その定義は、x^y の y = 0 付近での振る舞いを無視して y を 0 に固定していますから、
lim[x→0,y→0] x^y の替わりに lim[x→0] lim[y→0] x^y を考えていることに相当します。
y を自然数に限定した x^y で 0^0 を考えることとも同じです。
要するに、0 でない 小さな y については考えない　ということですから。

二重極限について、
そのようなキマグレな lim の順序交換をすることには、意味がありません。
(x,y)→(0,0) の途中経路に依存しないことは、二重極限の定義に含まれています。
だいぶ前の質問で誰かが答えていたように、
x^y の行き先は、(x,y)→(0,0) の経路を (x,y) = (e^(-1/t), -at), t→+0 とすることで、
任意の a に持っていくことができます。a = 1 でも、何の不都合もありません。
このように、部分列の極限が経路依存であることは、それ自体、
二重極限が収束しないことの証明になります。

lim[u→x,v→y] exp(v log u) と lim[u→x] lim[v→y] exp(v log u) の違いさえ
理解できませんでしたか…
貴方は「実は分かっている」と思ったのは、私の錯覚だったようですね。

お礼

＞「実数指数を定義するために連続性に依るのなら、不連続になっていまう 0^0
＞まで定義を広げるのは、勢い余って一貫性を欠いたと言わざるを得ません。」

もちろん、同意しません。
少なくとも連続性に依らず 0^n=0 (n∈N+) が言える訳ですから、0^0 の決定も連続性は必要としないと考えて問題ありません。

＞馬鹿言いなさんな。
＞x^y の連続性から、0^0 の値を導ける訳がありません。

＃私とあなたは、別々の意味で言っているのだと思います。
lim[x→+0]0^x が 0^0 の妥当な推定だと思っているなら、それを証明して、という意味です。

＞その定義は、x^y の y = 0 付近での振る舞いを無視して y を 0 に固定していますから、

なぜそう思うのですか？私は y などという変数は出していません。
x^0 を x^y に変形して考えなければならない理由はなんですか？

f(x)が与えられた時、lim[u→0]f(u)=1 と計算されたとして、f(0)の値が未定義と判断される理由は何ですか？
あなたは、2変数の場合、g(x,y)=lim[u→x,v→y]f(x,y) を計算することで、その関数g(x,y)がある点で定義できるかどうかが決定できるという話をしました。
でも、x^0 については、それでは判定できないという話をするのですね？

ありがとうございました。