０の０乗は１、にしたい

質問

０の０乗の値について、過去に色々な質問がありますが、結論としては不定というのが多いみたいです。
でも、素朴な疑問として、１として問題があるのかな、と思いました。

そこで、べき乗の定義を
　ｘ＾０＝１
　ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ　（ｎ≧１）
としてしまえば、０＾０は当然１になります。

この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？

回答No.22

R_Earl · ベストアンサー

ANo.14です。

> そして、この式は以前の式より、より０＾０に近づいており、より１に近づいています。
>
> つまり、元の式よりも０＾０に近くて、結果が１に近いような式が作れるので、これだけでは、０＾０＝１を否定することはできないのです。

その話を持ち出すぐらいなら、いっそのこと『極限値と実際の値は異なる場合もある』という話をした方が良いでしょう。

f(x) =
1 (x ≠ 3)
-1 (x = 3)

とすれば、x → 3 ± 0の時、f(x) → 1ですが、f(3) = -1です。

私が0^0 = 1としたくないのは、y = (5^(-1/(x^2)))^(-x^2)のグラフがきれいでなくなるからです
(とはいっても、y = (5^(-1/(x^2)))^(-x^2)のグラフは横直線なので、あまり面白い形ではありません。
本当はもっと良い関数を例としてあげたかったんですが)。
たった、それだけの理由です。

情報理論の「エントロピー」と呼ばれるものの話では0^0 = 1を用います。
エントロピー関数H(x) = -xlogx - (1-x)log(1-x)　(0 ≦ x ≦ 1)
のグラフは、0^0 = 1を採用すると綺麗になります
(x = 0, 1の時、0log0が出てきます。この0log0を変形すると、log(0^0)となります)。
x → 0の時のxlogxの極限値は0ですし、x → 1の時の(1-x)log(1-x)の極限値も0です。
なので0log0 = log(0^0) = 0（結局、0^0 = 1）を採用するとグラフが0 ≦ x ≦ 1の範囲で連続となり、綺麗なグラフになります。
また「エントロピー」という言葉の意味からも、そうした方が都合が良いです。

しかし、0^0 = 1が他の話で都合よく働くとは限りません。
すでに0^0の極限値が5となるような関数の例を紹介しましたが、
そのような関数を採用した何かを考える時は0^0 = 5を採用した方が自然だと思います。
なので私自身は、0^0 = 1と固定したくないだけです。
「不連続は不自然だから嫌」というだけの理由です。

> この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？

色々考えてみましたが、今のところ矛盾点は見つかりません。

お礼

なるほど。おっしゃりたいことがよく分かりました。
なかなか深い意味があったのですね。

でもご安心ください。そのグラフはｘ＝０では定義されていませんから、（ｘ＝０、ｙ＝１）という点は存在しません。
よって、横直線であることに変わりはありません。
（屁理屈かもしれませんが…）
この場合でも、０＾０＝５を採用する必要はないのです。

もしこれが、ｘ＝０でも式が定義されていて、そのグラフが０＾０＝１では不自然になるという例が存在したならば、その時は、今回の定義を取り下げさせていただきます。

＞その話を持ち出すぐらいなら、いっそのこと『極限値と実際の値は異なる場合もある』という話をした方が良いでしょう。

いいえ。極限値に実際の値と同じものがある、という条件は外せません。そうでなければ、１が自然な値とは言えませんので。

エントロピー関数の例も、興味深く拝見しました。

ありがとうございました。

回答No.29

orcus0930

#28です。
これまでの指数なら成り立つ
a^(x*y)=(a^x)^y
は成立しないという解釈でいいんですね?
（定義されている数に対して使えないと書いてあるように思えますが）
（しないほうがいい　ではなく　することができない　を示してください）

普通の定義なら成り立ちますけどね。

あと、あなたが新しく定義しているので、
「－０は、０の反数であり、べき乗では逆数になる、という性質」
を示してください。

お礼

＞これまでの指数なら成り立つ
＞a^(x*y)=(a^x)^y
＞は成立しないという解釈でいいんですね?

成立します。
0^(-1)や∞^0は、私の理解の範囲外です。
計算できないような式の変形を行っても、意味のある答えはでないので、しないほうがいいと述べました。

＞「－０は、０の反数であり、べき乗では逆数になる、という性質」
＞を示してください。

x^(-y)=1/x^y
という式は、今までのべき乗の定義で普通に成立していた式です。
これの成立を証明するには、負べきの定義から考える必要がありますが、今回は証明なしで使わせてもらいました。
私は、０＾０以外で成り立つこの式が、０＾０でも成立するためには、１である必要があると言いたかっただけですので。

同じ質問でずっと続けると、注目する人が減るし、読むのが辛くなるので、質問しなおしました。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4355129.html

回答ありがとうございました。

回答No.28

orcus0930

0^0
=0^(-0)
=1/0^0

は
0^0
=0^(-0)
=0^(0*(-1))　…(1)
=(0^0)^(-1)　…(2)
=1/0^0
としているのだと思いますが、
(1)(2)は
0^((-1)*0)
=(0^(-1))^0
ともできてしまい、
即座に計算不能ですけど……
流石に0^(-1)は定義しませんよね?

あなたの定義では、必ず(1)(2)の順番で計算しなければならないんですか?

お礼

(1),(2)のような変形は行っておりません。

－０は、０の反数であり、べき乗では逆数になる、という性質を使っています。

なお、計算不能になる式の変形はしない方がいいです。
０＾（－１）の定義はしません。

ありがとうございました。

回答No.27

arrysthmia

私の最初の質問とは、「その定義を行うことに問題があるのかどうか」のことですか？
それには、既に、繰り返し答えました。

0^0=1 と定義しても、何ら矛盾は無い。
と同時に、0^0=5 と定義しても、0^0=3 と定義しても、同様に矛盾は無い。
問題は、0^0=1, 0^0=5, 0^0=3 らが皆同等の「無矛盾」という資格を持つ中で、
0^0=1 を恣意的に選ぶことで、それと引き換えに、x^y が定義域内に不連続点を持つ
ようになる。その事の損失が大きいということだと。

貴方は、0^0=5 には矛盾があると主張しているようですが、何が何に矛盾するのか、
論理的に正しく書き出して見てください。まずは、そこからです。

お礼

No.23:
＞それ以外での根拠としては、
＞0^0=0^(-0)=1/0^0
＞です。これを満たすのは１だけですね。

とりあえず、これからでどうでしょう。

回答No.26

arrysthmia

←No.25
＞ No.17で示された海外のページでは、０＾０＝１が便宜的ではないような印象も受けました。
＞ もしかしたら、日本の常識が世界とは違う可能性がある、とは思いませんか？

常識に関する一般的な話として、そういう事例はあるでしょうが、この件は、全くそうではありません。
Wikipedia の記事の信憑性は問わないとしても、
No.17 の参照先の要点は、貴方が補足に訳出している部分ではありません。
「たとえば：」の部分は、本文ではなく、Reference [4] の和訳ですね。
その文章は、Wikipedia のその項の著者が公平な意見として挙げたものではなく、
組み合わせ論の立場から 0^0=1 を提唱する D.E.Knuth が、その著書で私見として記した言葉の引用です。
そこから、「これは誤りです」「0^xはまったく非重要です。」などの言葉を、No.17補足のようなやりかたで引用するのは、
英語圏では 0^0=1 が常識であるかのような誤解を、このやりとりの読者に与える、悪質な印象操作です。
0^0=1 と定義することが、真に興味深いと思うのなら、こんなやりかたではなく、もう少しフェアな主張をしなさい。
正当な主張には、本来、ゴマカシは不要です。

その Wikipedia の項目の要点は、↓ の部分でしょう。
According to Benson (1999), "The choice whether to define 0^0 is based on convenience, not on correctness."
There are two principal treatments in practice, one from discrete mathematics and the other from analysis.
そして、「one from discrete mathematics」は　0^0=1 であり、「the other from analysis」は 0^0 を未定義とすること
であると述べ、それぞれの正当化を列挙してきますね。

D.E.Knuth は、計算機科学の巨人ですが、数学の専門家ではありません。
彼が、x^y の連続性を軽視し、y を自然数に限定したがる理由は、おそらく No.25 で推定したような事情でしょう。
数式として、多項式しか扱わないなら、0^0=1 という定義は、けっこう便利なものです。
しかし、それは、微分を扱うことのある人にとっては、x^y の y が自然数か／非自然数かという注釈を
毎度求められるようになるだけの、恣意的で煩瑣なローカル・ルールに過ぎません。

お礼

そうですか。この人がそういうつながりの人でしたか。
私は、誰が言ったかではなく、Wikipediaに注釈であろうと公然と書かれているので、その日本語版との違いを紹介しただけなのですが。

それに、No.17で私が紹介したのは、あと２つあるのですが、それも見ましたか？
その２つは注釈に書かれていたものではありません。
合計３つの点から、日本語版には感じられない、違う常識が存在する可能性があると感じたと示しています。
それでもあなたが違う常識の存在を否定するなら、この一連の発言を撤回します。
私の定義への反論として、常識的には…、とか言う人がいるので、枝葉末節の議論として、その他の常識がある可能性があると言っただけで、その主張がごまかしであるなら、もう言わないことにします。

もともと、どちらが常識か、という議論は私の興味の対象外です。
No.25で示したように、私の考えと違う常識は変えていけば良いのですから。

ですから！肝心な私の最初の疑問に答えてください！！

ありがとうございました。

回答No.25

arrysthmia

←No.10
＞ ならせめて、不定であるのが常識的な理由を説明してください。

根本的なことが、分かっていないようですね。
0^0 の常識的な値は、「不定」ではなく！ 「未定義」です。
「不定」なのは、0^0 の値ではなく、lim[x→0,y→0] x^y の極限であって、
それを理由に、0^0 を「未定義」とすることを好む人が多い ということです。
これが、「常識的な理由」です。
「べき乗」という言葉が、世間では、そういう意味で使われている ということ。
常識でしょう？

「未定義」ですから、貴方が言うように 0^0=1 を付け足しても、
誰だったかが書いていたように 0^0=5 を付け足しても、
何の矛盾も生じません。ただ、x^y の取り扱いに、x = 0, y = 0 に関する
注釈が、毎度沢山付くようになるだけの話です。
貴方が 0^0=1 の「矛盾」を指摘してもらえない理由は、ここにあります。
だから、「したければ好きに定義して、使えばよい」といっているのです。
「主観的には、嫌う人が多い」とも。 面倒ですから。

lim[x→0,y→0] x^y が「不定」であることの証明は、
No.6 で既出ですね？

貴方は、x^y の y を自然数に制限して、0^0=1 を正当化しようとしています。
これは独特の発想ではなく、有名所では、D.E.Knuth も、そんなことを言っています。
実際、y が自然数のみであれば、0^0=1 で大変上手くゆきます。
不便なのは、それでは、x^y が y についての実連続関数として定義できず、
微積分の基本的な道具である指数関数につながらない ということです。
y が自然数であるときの x^y と、y が実数（更に複素数）であるときの x^y を
別のものとして扱うことになる。
y が自然数であるときには、両者は一致するにもかかわらず、です。
煩瑣でしょう？

貴方は、「極限を持ち出すのは嫌いだ」と繰り返していますが、
x^y の y を、指数法則だけで定義できる有理数の範囲から、無理数へと広げるには、
lim[x→a,y→b] x^y の極限を考えることが必要です。
先の D.E.Knuth が、多項式を扱うことはあるけれど、微積分を行うことは少ない
計算機科学の人であることは、参考になるでしょう。
極限られた数式を扱う分野では、0^0=1 が好ましい場合もある ということです。

お礼

＞0^0 の常識的な値は、「不定」ではなく！ 「未定義」です。

なるほど！勘違いしておりました。
どうやら、「不定」では誤りということですね。
回答者の中にも、「不定」と思っている人がいるかもしれませんので、今後は注意して読むことにします。

ところで、私の最初の質問は、その定義を行うことに問題があるのかどうか、ということです。
問題がないのなら、後は好みの問題で、それぞれの信じる数学を作っていけば良いのです。
その場合、私の選択は「常識を変えるために何をするか」ですので、目標が明確になってきます。
問題があるなら、この議論が終結します。
問題があるかどうかが不明な今の状態では、そのどちらも出来ず、この議論を続けるしかないのです。

＞「未定義」ですから、貴方が言うように 0^0=1 を付け足しても、
＞誰だったかが書いていたように 0^0=5 を付け足しても、
＞何の矛盾も生じません。

これは、そうは思っていません。
No.12で指摘したように、０＾０＝０を定義した場合、色々な問題点が出てくるように思います。
たとえば、０＾０＝０で定義しても、矛盾が生じないことを示してもらえませんか？

＞不便なのは、それでは、x^y が y についての実連続関数として定義できず、
＞微積分の基本的な道具である指数関数につながらない ということです。

もう少し具体的な説明をお願いします。
想像はできますが、それでは反論は難しいので…

＞貴方は、「極限を持ち出すのは嫌いだ」と繰り返していますが、

ある意味ではそうですね。
極限に＋と－の両方から近づければ文句はないんですが、片方からだけの接近で値を決めてしまうのは、問題が多すぎると考えています。
これについては、No.11で絶対値の例を挙げています。
ただし、指数を無理数へ広げるのは必要と思いますので、その妨げになると思われることがあれば、教えてください。
今回の話は、それとは別と思いますがね。

No.17で示された海外のページでは、０＾０＝１が便宜的ではないような印象も受けました。
もしかしたら、日本の常識が世界とは違う可能性がある、とは思いませんか？

ありがとうございました。

回答No.24

orcus0930

No23です。
以前にも書きましたが、
定義が異なるなら、「別の数」ですよ。

a^1=aをスタートとする「0^0が不定となる」べき乗と
あなたの主張する「0^0=1とする」べき乗

定義が違うんだから、議論がかみ合うはずがない。
あなたが0^0=1として新しい数で理論を構築していけばいいんじゃないかな?

不定とする人はおそらく、0^0が1をとることができることは認識していると思います。

これ以上は不毛な議論になりそうなので、
0^0=1と思いたければどうぞ。

お礼

＞定義が異なるなら、「別の数」ですよ。

私は、以前の数が、定義を間違ったために生じた幻だと思っているんですが…
「0^0が不定となる」べき乗は、本当に存在するんですか？
（極限値としての０＾０は不定です）
もちろん、数学は、定義を自由に決めていいし、その意味では存在しますが、存在意義がない数ではないでしょうか。

たとえば、四則演算では、０／０は不定とされています。
ところが、０という概念がなく、答が０になる計算がすべて不定とされたらどうでしょう。
０が存在すると、主張したくなりませんか？
自然数に０を加えても、無矛盾な数学が構築できると言いたくなりませんか？

＞不定とする人はおそらく、0^0が1をとることができることは認識していると思います。

私の主張は、「０＾０が１以外の数になることができない」です。
もし１以外の数に決めてしまうと、他の指数の法則などに多大な影響を与え、但し書きばかりの数学になってしまうでしょう。
特に、０＾０＝０に矛盾がないと思っている人がたくさんいます。
不定とする人はおそらく、その認識がないと思われます。

私のしようとしているのは、０の再発見みたいなものです。
０がなくても、但し書きをいっぱい作れば、それなりの数学はできるでしょうが、そんなに数学は不自由じゃない、と主張することは、あまり異議の無いことだとは思いません。

何度も回答いただき、ありがとうございます。大変参考になります。
こんな議論に意味はない、という意見でも結構ですので、今後も参加いただけると嬉しいです。

回答No.23

orcus0930

「x^0=1,x^n=x^(n-1)*xと定義して問題ない」というのは、
x^1=xと定義することとx^0=1と定義することが同値だという解釈でいいのかな?

0^0がある値をもつとしましょう。
0^0=xとして、
質問者の方も認められている
0*n=0 (nは自然数)
を使いまして、
0^0=0^(0*n)=(0^0)^n
x=x^n
x(x^(n-1)-1)=0
x=0,e^(i2πk/(n-1)) (k=0,1,2,…,n-2)として、0^0はいくらでも値をもつことができます。

a^1=aをスタートにすれば、このような結論が容易に得られます。
0^0=1と定義してしまうと、a^1=aの定義に比べて、0^0がとることができる数が減りますが、
これでも、0^0=1の定義が、これまでの定義と同じというんですか?

0^0=1とするなら、ほかの数にしない根拠を示してもらいたいですね。

好き嫌いなら、主観を他人に押し付けてほしくないですね。

お礼

＞x^1=xと定義することとx^0=1と定義することが同値だという解釈でいいのかな?

違います。ｘ＾１＝ｘの定義では、０＾０は不定となっていることを、０＾０＝１と言っているのですから、すでにこれだけで同値でないのは明らかです。
私は、０＾０＝１とすることで、それ以外のべき乗の値が変わることは許容しませんが、０＾０の値まで変わらないと言ってしまうと、何のために定義を変更したのか分からなくなります。

＞0^0はいくらでも値をもつことができます。

以前の主張が０＾０が不定であったことを考えると、特に変わったとは言えません。

＞0^0=1とするなら、ほかの数にしない根拠を示してもらいたいですね。

１という値は、べき乗の定義から来ています。
したがって、他の数値に変更することはできません。

それ以外での根拠としては、
0^0=0^(-0)=1/0^0
です。これを満たすのは１だけですね。

ありがとうございました。

回答No.21

Tacosan

「ある与えられた式よりも０＾０に近づいて、かつ、極限値は１に近い式が必ず存在するということです。」
と言いたいなら, まず「0^0 に近づく」という言葉を定義してください.

お礼

式をｘ＾ｙの形に変形（底と指数の間でのやりとりは行わない）した時、（ｘ、ｙ）から計算される（０、０）からの距離が小さくなることを、０＾０に近づくと定義します。
これが自明であるために、ｘまたはｙのどちらかが０に近づき、他方が遠くならない、という条件に限定します。

極限値が１に近づくとは、絶対値がより１に近づくこととします。
ｘ＾ｙの値域が実数とした場合は、（そのまま）極限値が１に近づくこととします。

また、比較する両式での同名の変数は、同じ変化を行うと仮定します。

回答No.20

aiueo95240

0^0についての議論に極限を持ち出す人をうとましく思うのには同感です。

0^0については、ウィキペディアに書いてあるように、一般には定義されないが、便宜的に1とすることもある、という回答が無難と思います。

a^bの話については、各分野でいろいろな導入の仕方があり、けっこうケースバイケースだと思います。
b乗の部分は、普通は０以上の整数で考えますが、それを実数、さらには複素数にまで拡張する必要のない分野もあると思います。
環論の一般論とか。

また、4^(1/2)を2とする場合（実数論）もあれば、±2とする場合もあれば、2*e^(inπ)とする場合（複素関数論）もあると思います。

お礼

＞0^0についての議論に極限を持ち出す人をうとましく思うのには同感です。

ありがとうございます。

＞一般には定義されないが、便宜的に1とすることもある、という回答が無難と思います。

私の感覚は、一般には１と定義するが、便宜的に未定とする、という方がしっくりきますね。
まあ、感覚的なことなんで、どこまで行っても平行線なのかもしれませんが。

今回の質問では、私の出した定義で問題があるかどうかなので、どちらが一般的かは関係ないんですけどね。

＞a^bの話については、各分野でいろいろな導入の仕方があり、けっこうケースバイケースだと思います。

そうですね。これらを全部考慮すると、私の手には負えませんね。
それで、私が示した定義は、０または自然数だけなのです。

ありがとうございました。

回答No.19

jmh

質問の意味が分からなくなってきたので、教えてください。
「すべての不定形０＾０の極限値を１としたいの！」とか「ｘ＾ｙを連続に延長して０＾０＝１になるの！」というのではないですよね？
０＾０を定義していない人たちは「０＾０なんて見たことない！」ハズ（彼らは、exp(ｘ)＝１＋Σｘ^n/ｎ! と書いてる）ですよね。
で、心配事って何んですか？

> その定義が嫌いなんです。なんで１乗の定義が最初なんですか？
>
例えば「その定義だと、乗法に単位元１がない人々がチョット困ります」とか？

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/0%E3%81%AE0%E4%B9%97

お礼

＞「すべての不定形０＾０の極限値を１としたいの！」

これは違いますね。極限値の話をしているのではありません。
通常の整数の体系では１とか２とかが唯一であるように、０も唯一であると思っていますので、すべての不定形とか極限値という表現は、私の意図とは異なると考えます。
ただ単に、０＾０に収束する値の極限値を１としたいという意味なら、まったく違います。

＞「ｘ＾ｙを連続に延長して０＾０＝１になるの！」

これは明らかに違いますね。
これをいくら行っても、０＾０には到達しないと考えています。
０＾０＝１と定義付け、その体系が無矛盾であるならば、そうしたいと考えているんです。
ｘ＾ｙの連続性による考察は、それが無矛盾かどうかにとって重要と考えているのですが、そこからは、必要条件しか導き出せないと考えています。

＞心配事って何んですか？

心配事があって質問しているのではなく、知的好奇心の対象である数学を楽しんでいるだけですが…
ちなみに、数学を好き嫌いで考えるのも、昔からの習慣です。

>> その定義が嫌いなんです。なんで１乗の定義が最初なんですか？
>
>例えば「その定義だと、乗法に単位元１がない人々がチョット困ります」とか？

他の計算（例えば乗算）では、
n*0=0
とかが普通に使われています。
n*1=n
n*0=n*(1-1)=n-n=0
という風な説明が一般的とは思えません。

ところが、べき乗だけは１乗の定義が先で、
n^0=n^(1-1)=n/n=1
とされています。
そして、この計算がn=0で出来ないため、0^0が不定とされています。
この統一感のなさと、わざわざ問題を作り出しているのが嫌いなんですが、分かってもらえませんか？