数列 n^(1/n) が収束することを…

質問

数列　n^(1/n) （ n の n 乗根，n は自然数）が収束することを
証明したいのですが、どうすればいいのでしょうか？
教えて下さい。

極限が１であることは何となく分かるのですが、
収束することをうまく証明できません。
もし方法が複数あるなら、できるだけたくさん知りたいです。

一応大学生なのである程度難しくても理解できるよう
がんばりますのでよろしくお願いします。

回答No.2

springside · ベストアンサー

こんなのはどうでしょう。

n^(1/n)→1 (n→∞)の代わりに、nを実数xに置き換えて、f(x)=x^(1/x)→1 (x→∞)を証明します。
これが証明できれば、x<=n<x+1となるxが存在することと、x>eでの関数f(x)= x^(1/x)の単調性から、はさみうちの原理によってn^(1/n)→1が証明されたことになると思います。

f(x)の両辺の対数をとると、log f(x) = (log x) / xなので、
lim(x→∞) {log f(x)}
=lim(x→∞) {(log x) / x}
=lim(x→∞) {(1/x) / 1}　（∵ロピタルの定理）
=lim(x→∞) {1/x}
=0
よって、log f(x)→0なので、対数関数の連続性を考慮すればf(x)→1となり、結局n^(1/n)→1が証明された。

お礼

素早い回答ありがとうございます。
ふむふむ、こういう方法もあるのですね、
今の私では絶対思い付きません(-_-;)

こんな面白い解き方を見る度に数学がますます好きになります。
ありがとうございました。

回答No.1

rei00

参考 URL のページにある様です（難しくて，私には雰囲気しか解りません）。

　　◎ n 乗根の極限

　ご参考まで。

参考URL：

http://phaos.hp.infoseek.co.jp/part2/sequence/limit/appendices/lim_n_root.htm

お礼

素早い回答ありがとうございます。
早速教えて頂いたページ見ました。
私も雰囲気がつかめる程度でしたが、他にも興味深い項目が
たくさんあって大変面白かったです。

ありがとうございました。