- 締切済み
藤川和男著 「ゲージ場の理論」に関する質問
noname#160321の回答
藤川先生に直接メールして尋ねても構わないのですよ。
関連するQ&A
- 場の理論でカイラル対称性は要請されるのか？
場の理論でカイラル対称性は要請されるのでしょうか？ スタンダードモデルでは、ゲージ対称性からフェルミオンの質量項が禁止されるが、 「higgsとfermionの相互作用の項」があるために、対称性が自発的に破れるとfermionが質量を獲得するというストーリですよね。 この「higgsとfermionの相互作用の項」はカイラル対称性に反すると思うのですが。。。結局カイラル対称性は理論に要請しないということでしょうか？
- ベストアンサー
- 物理学
- 複素積分を使わずに解ける
複素関数の勉強をしていて、疑問に思ったことがあります。 次の定積分を求めよ、という問題です。 ∫（from 0 to ∞）exp(-x^2) cos2bx dx (ｂは定数) この問題は、複素平面上の長方形状の積分路に沿って積分して答えが出せたのですが、以下のようなやり方をしてみました。 まず、求める積分はｂの関数とみなせるので、Ｉ(ｂ)とおきます。 次にＩ(ｂ)をｂで微分します。被積分関数をｂで偏微分し、部分積分を使うと、 ｄＩ(ｂ)／ｄｂ ＝ －２ｂＩ(ｂ) となります。これはｂの微分方程式になっているので、これを解くと、 Ｉ(ｂ) ＝ Ａexp(-b^2) （Ａは定数） となります。元の式にｂ＝０を代入すれば、 Ｉ(０) ＝ sqrt(π)/2 となるので、 Ｉ(ｂ) ＝ sqrt(π)exp(-b^2)/2 という結果になります。 なんだか複素積分をするよりも簡単に答えが出せたのですが、このやり方でもよいのでしょうか。参考書にはこの方法が載っていなかったのですが。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分
I1=∫[-∞,-∞]cos(a*x)/(x^2+b^2)dxを複素積分を使って求めます。 まず ∫[-∞,-∞]cos(a*x)/(x^2+b^2)dxの被積分関数の分子にi*sin(a*x)を （iは虚数単位）を加えても加えた部分が奇関数でかわらないので加え ると ∫[-∞,-∞]{cos(a*x)+i*sin(a*x)}/(x^2+b^2)dxとなります するとI=∫[-∞,-∞]exp(i*a*x)/(x^2+b^2)dxです。 ここで複素積分 I=∫exp(i*a*z)/(z^2+b^2)dz （積分路は実軸と虚軸の正の部分を通る 反時計回りの半径Rの半円） またI2=∫exp(i*a*z)/(z^2+b^2)dz （積分路は虚軸の正の部分のみを通 る反時計回りの半径Rの半円）を考えるとRが十分大きいとき I=I1+I2・・・(1)になります。 Iは留数定理よりI=2*π*i*Res[f,i*b]=π*exp(-a*b)/b・・・(2) I2はz=R*exp(i*θ)とおき I2=∫[0,π]exp(i*a*R*exp(i*θ))/(R*exp(i*θ)^2+b^2)dθ =∫[0,π]exp(-a*R*sinθ+)*exp(i*a*R*cosθ)*i*R*exp(i*θ)/(R^2*exp (2*i*θ)+b^2)dθ 三角不等式より 0<｜I2｜<∫[0,π]｜exp(-a*R*sinθ+)*exp(i*a*R*cosθ)*i*R*exp(i*θ)｜/｜(R^2*exp(2*i*θ)+b^2)｜dθ<π*R*exp(-a*R*sinθ)/｜-R^2+b^2｜・・・(3) ここでsinθ >0よりでexp(-a*R*sinθ)<1なので π*R*exp(-a*R*sinθ)/｜-R^2+b^2｜<π*R/｜-R^2+b^2｜となり π*R/｜-R^2+b^2｜はR-->∞で0なので結局 ｜I2｜-->0 なので(1)より I1=π*exp(-a*b)/bが答えです。 これはわかるのですが、スタートで i*sin(a*x)ではなく-i*sin(a*x)を加えても変わらないですよね？ そこで-i*sin(a*x)を加えて実際にやってみると (2)の部分はπ*exp(a*b)/bに変わってしまい、また (3)の部分はπ*R*exp(a*R*sinθ)/｜-R^2+b^2｜となってしまいこれでは R-->∞で発散するように思えます。 どこがまちがっているのでしょうか
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 定義から導関数を求める
定義1 I=(a,b) a<b f;I→R(実数),x0∈I に対してfはx0で微分可能 ⇔ ∃α∈R(実数):f(x)=f(x0)+α(x-x0)+o(x-x0) (x→x0) 定義2 fはI上で微分可能 ⇔ f'はIの任意の点で微分可能。このときf';I∈x0→f'(x)∈R(実数)なる函数が定まる。これを導関数と言う。 微分の定義に基づいて、次の導関数を求めよ。 f(x)=exp(ax) (a∈R＼{0}) o(g(x))=f(x)⇔lim[x→x0]f(x)/g(x)を用いるのでしょうか？どんな風に解答すればいいのか分かりません。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 単振動の運動方程式の解（複素数表示？）
中学の者ですが、なんとか独学でここまで理解しています。 答えの載っていない参考書を持っていて、 それを読みながら勉強しているのですが、 ある問で、 微分方程式m(d^2x/dt^2)＝-kt の解は x=A*exp(iωt)+B*exp(-iωt) （ただしω＝√(k/m) ） の形で表わされることを示せ というのがありました。 微分方程式の解き方は分かっていたので、素直に x＝C*sin(ωt+D) （CとDは定数） としました。 ここからどうやって示すべき式に持っていくのでしょうか。 見当がつきません。 それから、速度をあらわす式vを時間tで表わし、 t=0のときx=a、t=0のときv=0という条件で、A,Bを aとωを用いて表せというのもありました。 これは与えられた x=A*exp(iωt)+B*exp(-iωt) をそのままtで微分していいということなのでしょうか。 機械的にやってみたのですが、AもBもa/2という結果になり、 ωは出てきませんでした。 いま一つ問題が何を読者に気付いてほしいのかわからないことと、 最初に書きました表示の部分が分かりません。 どなたか詳しく教えていただけませんか。お願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- すこしやりがいのある積分の微分
この積分をｔで微分する問題です． ∞ W(t)=∫exp(-rs)*R(s)ds ｔ です． 僕の考えとしては， まず，定積分を求め，ｔの変数として求めてから， ｔで微分すると思います． つまり，exp(-rs)部分は，∞で，０となり，計算がしやすくなるはずです．しかし，∫の中身がｓに関する合成関数なのです．部分積分をやったり，いろいろ試したのですが，複雑に考えてしまい，できませんでした． 最終的に証明したい結果は， 上記積分を，ｔで微分すると， ∴ ｒ＝R/W+{(dW/dt)/W} ※(dW/dt)は，Wのドットです． となる関係を導出したいわけです． この関係は答えです． どうぞ，よろしくお願いします．
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分路変形の原理で質問
[問] s∈C, Map((0,2π),C)∋f; (0,2π)∋∀ε→f(ε):=∫_0^{2π} (εexp(iθ))^{s-1}εiexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1) dθ, 但し, C_ε: z(t):=ε(cos(εt(2π))+isin(εt(2π))) (if ε≧1,1/ε≦t≦2/ε), ε(cos(2πt/ε)+isin(2πt/ε)) (if ε<1,ε≦t≦2ε) この時,fはconstantである事を示せ。 を示しています。半径εの円に囲まれた領域(左図)はs=0でg(s):=(εexp(iθ))^{s-1}εiexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1) dθは正則ではないのでCauchyの積分定理は使えません。それで半径δ(<ε)の円を考えると ∫_{C_ε}g(s)ds,∫_{C_δ}g(s)ds∈{∫_{C_ε}g(s)ds∈C;0<ε}=:Aで ∫_{C_ε}g(s)ds=∫_{C_δ}g(s)ds …【1】が成り立つ (∵2円に囲まれた円環部分ではf(s)は正則なので積分路変形の原理による)。 Aから任意の2元を採ると必ず等しくなるのでAは単集合とわかる。 更に ∫_{C_ε}g(s)ds=lim_{δ→0}∫_{C_δ}g(s)ds (∵【1】) =0 (∵lim_{r→0}{(x,y)∈R^2;x^2+y^2=r^2}={(0,0)}よりlim_{δ→0}∫_{C_δ}g(s)ds =0と分かる) 従って, ∫_0^{2π} (εexp(iθ))^{s-1}εiexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1) dθ =0となりfはconstant. となったのですがこれは間違いらしいのです。一体どこがおかしいのでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 特殊関数の定積分に関して質問です．
exp(-s*sqrt(x^2＋a^2)*x*J0(b*x)/sqrt(x^2＋a^2)の0から∞までの半無限区間の積分が，なぜexp(-a*sqrt(s^2＋b^2))/sqrt(s^2＋b^2)になるのかわかりません． この証明の仕方を教えてください．ここで，J0(x)は0次第1種ベッセル関数，sqrt(x)はxの平方根です．
- ベストアンサー
- 数学・算数
- デルタ関数を含む常微分方程式
ｙ''+6y'+10=δ(x-1) , y(0)=0 , y'(0)=3 の常微分方程式を求めよという問題で ラプラス変換をして (s^2+6s+10)Y(s)=exp(-s)+3 とし Y(s)=e^(-s)/(s^2+6s+10)+3/(s^2+6s+10) よってy=sin(x-1)exp(-3(x-1))H(x-1)+3sin(x)exp(-3)という感じであっていますか？ Hはヘビサイド関数です．
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
アドバイスいただきありがとうございます。 もし簡単な見落とし等であればご指摘いた だければ嬉しいです。