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汎関数微分について
汎関数微分について I[f]=exp[∫dx f(x)φ(x)] の微分について I[f+μ]-I[f]=exp[∫dx f(x)φ(x)]{exp[∫dx μ(x)φ(x)]-1} までいって途方にくれています．どうかお助けください．よろしくお願いします．
- samidare01
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何を求めたいのかいまひとつわからないのですが、 I[f]を単にf(x)で汎関数微分するだけなら δf(y)/δf(x)＝δ(y－x) の関係を使えば簡単に求められます。 I[f]の定義式で定積分してるので積分変数は任意なので yとでもしておきます。 I[f]＝exp[∫dy f(y)φ(y)] ∴δI[f]/δf(x)＝δ(exp[∫dy f(y)φ(y)]) /δf(x) ＝exp[∫dy f(y)φ(y)]×(δ[∫dy f(y)φ(y)] /δf(x)) ＝exp[∫dy f(y)φ(y)]×[∫dy(δf(y)/δf(x))φ(y)] ＝exp[∫dy f(y)φ(y)]×[∫dy δ(y－x)φ(y)] ＝φ(x)exp[∫dy f(y)φ(y)]＝φ(x)I[f] また、μが微小な関数でI[f+μ]-I[f]をμの一次まで求めたいなら、 I[f+μ]を汎関数Taylor展開してμの一次まで取れば、 I[f+μ]＝I[f]＋∫dx μ(x)δI[f]/δf(x) ∴I[f+μ]－I[f]＝∫dx μ(x)δI[f]/δf(x)＝∫dx μ(x)φ(x)I[f]
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- muturajcp
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I[f]=exp[∫{f(x)φ(x)}dx] F(f)=∫{f(x)φ(x)}dx (d/dx)F(f(x))=f(x)φ(x)=(d/df)F(f(x))f'(x) (d/df)F(f(x))=f(x)φ(x)/f'(x) (d/df)I[f]=exp[∫{f(x)φ(x)}dx]f(x)φ(x)/f'(x)
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