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単振動の運動方程式の解（複素数表示？）
中学の者ですが、なんとか独学でここまで理解しています。 答えの載っていない参考書を持っていて、 それを読みながら勉強しているのですが、 ある問で、 微分方程式m(d^2x/dt^2)＝-kt の解は x=A*exp(iωt)+B*exp(-iωt) （ただしω＝√(k/m) ） の形で表わされることを示せ というのがありました。 微分方程式の解き方は分かっていたので、素直に x＝C*sin(ωt+D) （CとDは定数） としました。 ここからどうやって示すべき式に持っていくのでしょうか。 見当がつきません。 それから、速度をあらわす式vを時間tで表わし、 t=0のときx=a、t=0のときv=0という条件で、A,Bを aとωを用いて表せというのもありました。 これは与えられた x=A*exp(iωt)+B*exp(-iωt) をそのままtで微分していいということなのでしょうか。 機械的にやってみたのですが、AもBもa/2という結果になり、 ωは出てきませんでした。 いま一つ問題が何を読者に気付いてほしいのかわからないことと、 最初に書きました表示の部分が分かりません。 どなたか詳しく教えていただけませんか。お願いします。
- shin-mind
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とりあえずよくつかわれる解法です。 与えられた式は m(d^2x/dt^2)+kx=0・・・（１） です。 ここで、x=exp(λt)…(※)とおいて(1)に代入すると mλ^2+k=0・・・（２） の関係が得られる。 これの根はλ+=＋j√(k/m)=jω、λ-=-j√(k/m)=-jωです。(ω＝√(k/m)とおきました） これらから得られる解(λ+,λ-を(※)に代入）を線形結合して、 x=A*exp(jωt)+B*exp(-jωt) です。 （No.4さんのリンク先の、２階の場合 を参考にしてください） 質問者さんのような解法でいくなら、 x＝C*sin(ωt+D) =C*sinωt*cosD+C*cosωt*sinD =Asinωt+Bcosωｔ(C*cosDも、C*sinDも定数なので、A,Bに置き換えました） これにNo.3さんリンクのオイラーの公式を当てはめてみてください。 速度はおっしゃるとおりの解法で兵器です。xを時間微分して、初期条件を代入すれば、係数が決まります。 問題の意味というのは難しいですが・・・ 質問の微分方程式は、単振動の微分方程式（調和振動）と呼ばれています。物理において基本的な微分方程式の１つであるため、これを解けるようにしておくことはとっても意味があります。（ニュートンの運動方程式はxの二階微分方程式ですよね!!） (d^2x/dt^2)＝-(k/m)x という式は、 「自分自身を二階微分すれば、係数が-(k/m)が出てくるけど、自分自身は変わらない」という風に見えるので、確かにsin,cos やexp(j～),exp(-j～) って感じがしませんか？ ２問目は、初期条件によって、係数が定まることを教えたいのかと思います。（係数が定まるということは、ある初期条件のもとでの物体の運動(x)が一意に表現できる ということ。）
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- owata-www
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二問目は質問者の方の解答で合っています
お礼
複数回回答してくださってありがとうございました。 もう少しきちんと自分で考えるようにしたいと思います。
- owata-www
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そもそもですが、２階の微分方程式の解法は x = e(λt) を代入して求めます http://ufcpp.net/study/analysis/diffsecond.html
- owata-www
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オイラーの公式というものがあります まあ、以下はこれを元に考えてみてください http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%AD%89%E5%BC%8F
補足
回答ありがとうございます。 sinやcosがiで表わされるのは初めて知りました。 ところで、最初に回答してくださった方が書かれた x = C*sin(ωt+D) + E*cos(ωt+F) の形から始めても、 これに{exp(iωt)+exp(-iωt)}/2などを代入してみても 目標にたどり着きそうにないのですが、 どこに誤りがあるのでしょうか。 度々すみません。
- foobar
- ベストアンサー率44% (1423/3185)
「解はx=A*exp(iωt)+B*exp(-iωt) （ただしω＝√(k/m) ）の形で表わされることを示せ」 x=..の式を元の微分方程式に代入して、微分方程式を満たすことを示す、という手を使うことが多いように思います。 （厳密には、全ての解がこの形になることを示す必要があるのでしょうが。） 「t=0のときx=a、t=0のときv=0」 v=dx/dtを計算して、xとvについてt=0の値をA,Bを含んだ式で表して、これがaと0になるようにA,Bを決定すればよさそうに思います。
お礼
回答ありがとうございました。 なるほど、考えてみます。 二問目のほうは確かにそう考えました。 書きましたようにωは消えてしまうのですが、 これで大丈夫なんでしょうか。
>微分方程式m(d^2x/dt^2)＝-kt これは、 m(d^2x/dt^2)＝-kx …(1) なのじゃありませんか？ >微分方程式の解き方は分かっていたので、素直に x＝C*sin(ωt+D) （CとDは定数） としました。 この解きかたは OK です。 一般には、 x = C*sin(ωt+D) + E*sin(ωt+F) これから、 d^2x/dt^2 = -(ω^2)*x が得られるので、 ω^2 = k/m
補足
回答ありがとうございました。 はい、tではなくxでした。ありがとうございます。
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