複素積分

質問

I1=∫[-∞,-∞]cos(a*x)/(x^2+b^2)dxを複素積分を使って求めます。
まず
∫[-∞,-∞]cos(a*x)/(x^2+b^2)dxの被積分関数の分子にi*sin(a*x)を
（iは虚数単位）を加えても加えた部分が奇関数でかわらないので加え
ると
∫[-∞,-∞]{cos(a*x)+i*sin(a*x)}/(x^2+b^2)dxとなります
するとI=∫[-∞,-∞]exp(i*a*x)/(x^2+b^2)dxです。
ここで複素積分
I=∫exp(i*a*z)/(z^2+b^2)dz （積分路は実軸と虚軸の正の部分を通る
反時計回りの半径Rの半円）
またI2=∫exp(i*a*z)/(z^2+b^2)dz （積分路は虚軸の正の部分のみを通
る反時計回りの半径Rの半円）を考えるとRが十分大きいとき
I=I1+I2・・・(1)になります。
Iは留数定理よりI=2*π*i*Res[f,i*b]=π*exp(-a*b)/b・・・(2)
I2はz=R*exp(i*θ)とおき
I2=∫[0,π]exp(i*a*R*exp(i*θ))/(R*exp(i*θ)^2+b^2)dθ
=∫[0,π]exp(-a*R*sinθ+)*exp(i*a*R*cosθ)*i*R*exp(i*θ)/(R^2*exp
(2*i*θ)+b^2)dθ
三角不等式より
0<｜I2｜<∫[0,π]｜exp(-a*R*sinθ+)*exp(i*a*R*cosθ)*i*R*exp(i*θ)｜/｜(R^2*exp(2*i*θ)+b^2)｜dθ<π*R*exp(-a*R*sinθ)/｜-R^2+b^2｜・・・(3)
ここでsinθ >0よりでexp(-a*R*sinθ)<1なので
π*R*exp(-a*R*sinθ)/｜-R^2+b^2｜<π*R/｜-R^2+b^2｜となり
π*R/｜-R^2+b^2｜はR-->∞で0なので結局
｜I2｜-->0　　　なので(1)より
I1=π*exp(-a*b)/bが答えです。　

これはわかるのですが、スタートで
i*sin(a*x)ではなく-i*sin(a*x)を加えても変わらないですよね？
そこで-i*sin(a*x)を加えて実際にやってみると
(2)の部分はπ*exp(a*b)/bに変わってしまい、また
(3)の部分はπ*R*exp(a*R*sinθ)/｜-R^2+b^2｜となってしまいこれでは
R-->∞で発散するように思えます。
どこがまちがっているのでしょうか

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．
すみません，書き損ないました．
第２段落の５行目
> exp(R a sinθ) は R→0 につれて指数関数的に小さくなり，
のところは
exp(R a sinθ) は R→∞ につれて指数関数的に小さくなり，
と訂正してください．

補足

わかりました。半円部分からの寄与が0になるように自分で積分路を決めるということですね？詳しい解説ありがとうございました！

回答No.1

siegmund

積分路の選び方が間違っています．
前半では複素平面の上半分にある半径Rの半円を積分路につけ加えています．
この半円からの寄与 I2 がゼロになることはきちんと示されていますが，
多少荒く言えば次のようなことです．
z=R*exp(i*θ) とおいて，被積分関数の因子 exp(i*a*z) は
exp(i R a cosθ) exp(-R a sinθ) になるから，
R→∞としたときに exp(-R a sinθ) は指数関数的に小さくなり
(上半面の円だから sinθ>0)，
結局大きな半円からの積分への寄与はゼロになる．

ところが，後半のようにしますと，被積分関数の因子が exp(-i*a*z) になり，
z=R*exp(i*θ) とすると exp(R a sinθ) が出てきて，
今度は指数関数的に大きくなってしまいます．
どうすればよいかというと，付け加える半円を複素平面の下半分になるようにするのです．
こうすると sinθ<0 ですから，exp(R a sinθ) は R→0 につれて指数関数的に小さくなり，
結局半円からの積分への寄与は消えます．
で，積分路内にある極は z=-ib ですから，ここの留数を考えればよいわけです．
あと，前半では【実軸正の向き＋円の上半分】という積分路全体は反時計回りでしたが，
後半で修正した【実軸正の向き＋円の下半分】という積分路全体は時計回りです．
そこの符号にも注意してください．