極座標変換

質問

教えて下さい。
ある円形の外周を測定したとき（円形の物体を回して測定する。測定器は固定されている。）、横軸を位相、縦軸を測定値とすると、θ(0～n),r(0～n)のデータを極座標変換すると、x(0～n),y(0～n)のデータに置き換わると思います。これを横軸ｘ縦軸ｙでグラフ化すると円になると思います。ここまでは合ってます？
円形の物体が真円であると仮定すると、横軸位相に対して縦軸測定値は、傾き０の直線になると思います。
しかし、円形の物体を回したときに回転中心と円形の物体の中心がずれていると、偏心して回転するため、直線にならなくて、曲線になると思います。（正弦波に近い曲線）この得られた曲線から極座標変換して、ｘｙ平面上に円を描きたいのですがどのようにすればいいのでしょうか？教えて下さい。

回答No.2

mmky · ベストアンサー

＞（1）式を使ってXY座標で円のグラフが描く方法。
実測のRnとその時の測定回転角度θnが必要です。
Yn=√｛Ro＾2(1±ε＾2)-Xn＾2}　　-----（1）
Xn=Rncosθn →これは実測から計算します。
Xnがｍ個計算できますので、この値を（1）に代入すると
m個のYnが計算できますね。
X1=R1cosO, Y1
X2=R2cosθ2, Y2
X3=R3cosθ3, Y3
・・・
Xm=Rmcosθm, Ym

X1・・XmをX軸にその時のY1・・YmをY軸にプロット
するとX、Y座標で円が描けます。
ということです。
例えば、円ですから360度を10度刻みにしますと、36等分ですから
m=36　cos0,cos10,cos20,・・・cos350を関数電卓で数字を出して
置くと早いですね。計測も円の台を36等分しておいて10度ごとに
36回長さRを計ればいいのですね。測定時の角度と長さをデータと
して取ればプロットできます。
参考まで

回答No.1

mmky

測定値から円を描く問題ですね。

測定系
　　　　　　変化量
　 回転　Ro±ΔR ～～～～～
Ro+ΔR→○ ↑　 0----------2π
測定　角度θ

測定：Rn,θn
Xn=Rncosθn, Yn=Rnsinθn
特別な場合
[n=1～m] ΔRn=0
Rn=Ro
Xn＾2+Yn＾2=Ro＾2

一般的な場合
測定：Rn,θn
Xn=Rncosθn, Yn=Rnsinθn
Rn=Ro±ΔRn
Xn＾2+Yn＾2=(Ro±ΔRn)＾2=Ro＾2{1±(ΔRn＾2/Ro＾2)}
(ΔRn＾2/Ro＾2)=ε＾2 と置けば、
Xn＾2+Yn＾2=Ro＾2{1±ε＾2}
Yn=√｛Ro＾2(1±ε＾2)-Xn＾2}　　-----（1）
ということですね。
Roは実測値Rnの平均値になりますから、
測定数をｍとすれば、
Ro=（1/m）Σ[1～m] Rn
ΔRn=Rn-Ro, ε=ΔRn/Ro=(Rn/Ro)-1
で計算しておけば、
（1）式を使ってXY座標で円のグラフが描けるでしょう。

参考程度まで

補足

ありがとうございます。
質問です。
＞（1）式を使ってXY座標で円のグラフが描けるでしょう。
あまり数学的知識がないものですみません。
（１）からどのようにしてXY平面に展開していくのですか？申し訳ありませんが教えて下さい。