- ベストアンサー
コーシーリーマンの式について
コーシーリーマンの式を導く時に f'(z)=lim f(z+Δz)-f(z)/Δz Δz→0 という式でf(z)=u+iv Δz=Δx+iΔyとおき Δy=0の場合 ∂u/∂x + i∂v/∂x Δx=0の場合 -i∂u/∂y+∂v/∂y これを比べて ∂u/∂y=-∂v/∂x というのが、なぜ右辺にマイナスが付くのでしょうか? 教えてください。 よろしくお願いいたします。
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数0
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
Δx→0とΔy→0が同じところに収束する必要があります。だから普通に実部と虚部をそれぞれ等値するだけです。 実部で ∂u/x=∂v/∂y はO.K.ですね。 同様に虚部も比べれば ∂v/∂x=-∂u/∂y ですよね。
その他の回答 (1)
- chiezo2005
- ベストアンサー率41% (634/1537)
導出は http://fujimac.t.u-tokyo.ac.jp/fujiwara/Mathematics-2/Ch2.pdf に詳しく書かれています。
関連するQ&A
- コーシーリーマンの問題について
φ=x^2-y^2,ψ=2xyはコーシーリーマンの式を満たすことを示せ。 また、複素関数wがzの関数で表すことができない場合は、コーシーリーマンの式を満たさないことを示せ。 という問題なのですが、 >また、複素関数wがzの関数で表すことができない場合は、コーシーリーマンの式を満たさないことを示せ。 ここの解は、 例えば、x^2+iy^2のような関数はφ=x^2,ψ=y^2であり、 ∂φ/∂x=2x,∂ψ/∂y=2yとなり、コーシーリーマンの関係式が満たされるのはz平面内で直線y=x上だけである。 よって関数x^2+iy^2は満たさない。 このような解でいいんでしょうか? よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- f(z) = z - 1/z に対してコーシー・リーマンの関係式を使っ
f(z) = z - 1/z に対してコーシー・リーマンの関係式を使って正則性を判定せよ。 解答 f(z)はz≠0において定義され、 f(z)= u + iv u = x - x/(x^2 + y^2) v = y + y/(x^2 + y^2) であり、 u_x = v_y u_y = -v_x よってz≠0で正則 …と書いてあって、 u_x = v_y、u_y = -v_xの偏微分は計算できるんですが、 その前の u = x - x/(x^2 + y^2) v = y + y/(x^2 + y^2) をどうやって導き出したのか教えてください (式さえ教えてくだされば自分で計算します)。 この本には例が一つも載っていません…。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- コーシー・リーマンの関係式の証明
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) において、(z=x+yi) (df/dx)*(dx/dz)=(df/dy)*(dy/dz) より、 コーシー・リーマンの関係式 du/dx=dv/dy,dv/dx=-du/dy が成り立つ。 ↑のような証明法ではまずいでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- f(z)=|z|^2はz=0では正則ではないことを示せ。
f(z)=|z|^2はz=0では正則ではないことを示せ。 解答 f'(0) = lim[z->0] {f(z)-f(0)}/z = lim[z->0] z~ となり、z=0で微分可能。 z=0で正則とは0のある近傍で正則ということであるが、 z≠0のときf(z)=x^2+y^2はコーシー・リーマンの方程式を満たさない。 …と載っているんですが、微分可能性にはついては先ほど質問し解決しました。 今度は正則について確認です。 f(z)={√(x^2+y^2)}^2 =x^2+y^2 =u+iv で 実部uはx^2+y^2 虚部vは0 u_x = 2x ≠ v_y =0 v_x = 0 ≠ u_y = 2y これらが一致しないので正則ではない …という答えでいいですか? 間違っていたら訂正をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正則性について。
--------------------------------------------------- f(z)=1/(bar(z)) z = x + iy とし z ≠ 0においてf(z)が正則であるかどうか判定せよ。 また、 R>0に対して複素積分 ∫_[|z|=R]f(z)dz の値を求めよ --------------------------------------------------- という問題なのですが、 u=x/x^2+y^2, v=u/x^2+y^2とすると、 ∂u/∂x = y^2-x^2/(x^2+y^2)^2 ∂v/∂y = x^2-y^2/(x^2+y^2)^2 となり、コーシー・リーマンの判定式を用いると、 ∂u/∂x≠∂v/∂yとなり、条件を満たさないので、 f(z)は正則ではないという結果が出ます。 f(z)が正則ではないのは、(bar(z))=0で特異点を持つためだと思うのですがこの問題の場合、z≠0で除外されていますよね? この場合、正則なのでしょうか? おそらく、特異点の捉え方がよくわかっていないのだと思います。 また、 次の問題はコーシーの積分公式で求めると思うのですが、 この公式は、bar(z)の場合にもそのまま当てはめてよいのでしょうか? ご指導ご鞭撻の程、宜しくお願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素関数の証明問題です
f(z)がzの解析関数(正則関数)であるとき (∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2)|f(z)|^2 = 4|f'(z)|^2 を証明する問題なのですが f(z)=u(x,y)+iv(x,y)とおいて、左辺を計算すると、 (∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2)(u^2+2uvi-v^2) =(∂/∂x)(∂u^2/∂x)+(∂/∂x)(∂2uvi/∂x)-(∂/∂x)(∂v^2/∂x) +(∂/∂y)(∂u^2/∂y)+(∂/∂y)(∂2uvi/∂y)-(∂/∂y)(∂v^2/∂y) =(∂/∂x)(2u(∂u/∂x))+(∂/∂x)(2vi(∂u/∂x))-(∂/∂x)(2v(∂v/∂x)) +(∂/∂y)(2u(∂u/∂y))+(∂/∂y)(2vi(∂u/∂y))-(∂/∂y)(2v(∂v/∂y)) コーシー・リーマンの関係式を用いて、 =2(∂u/∂x)(∂v/∂y)+2i(∂v/∂x)(∂v/∂y)+2(∂v/∂x)(∂u/∂y) -2(∂u/∂y)(∂v/∂x)-2i(∂v/∂y)(∂v/∂x)-2(∂v/∂y)(∂u/∂x) =0 となりました。 最後のところで 2(∂u/∂x)(∂v/∂y)+2i(∂v/∂x)(∂v/∂y)-2(∂v/∂x)(∂u/∂y) -2(∂u/∂y)(∂v/∂x)-2i(∂v/∂y)(∂v/∂x)+2(∂v/∂y)(∂u/∂x) となれば 4{(∂u/∂x)(∂v/∂y)-(∂v/∂x)(∂u/∂y)} =4{(∂u/∂x)^2+(∂v/∂x)^2} =4|f'(z)|^2 となり、証明できるのですが、途中どこが間違っているかが分かりません 長文となりましたが、分かる方よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極形式のコーシー・リーマンの関係式
極形式で表した複素数 z = r exp( iθ ) 極形式で表した複素関数 f(z) = R(r,θ) exp( iΘ(r,θ) ) において { f(z) - f(z0) } / ( z - z0 ) ・・・* の極限(z→z0)を ( r 一定)と( θ 一定)でそれぞれ調べることにより、極形式におけるコーシー・リーマンの関係式が r ・∂R/∂r = R・∂Θ/∂θ ∂R/∂θ = - rR・∂Θ/∂r を示せ。という問題なのですが、*の式に極形式のf(z), f(z0), z, z0をそれぞれ代入して r 一定のときは [ R(r0,θ0+h) exp{iΘ(r0,θ0+h)} - R(r0,θ0) exp{iΘ(r0,θ0)} ] / {r0 exp(iθ0) (exp(ih)-1)} ・・・(1) となり、θ一定のときは [ R(r0+k,θ0) exp{iΘ(r0+k,θ0)} - R(r0,θ0) exp{iΘ(r0,θ0)} ] / (k exp(iθ0)) ・・・(2) となることは代入だけなのでわかるのですが、これらの式で h , k を0にする極限をとったとき、 (1)→ { (1/ir0) ∂R(r0,θ0) / ∂θ + (1/r0) R(r0,θ0) ∂Θ(r0,θ0) / ∂θ }exp(iΘ(r0,θ0) exp(-iθ) (2)→ {∂R(r0,θ0) / ∂r + iR(r0,θ0) ∂Θ(r0,θ0) / ∂r }exp(iΘ(r0,θ0)) exp(-iθ) となるところがわかりません。これが示せれば後は両者の実数部と虚数部が等しくなることから極形式のコーシー・リーマンの関係式が導けるのですが。
- ベストアンサー
- 物理学
- 複素関数cos(z)の微分について
w=u+iv=cos(z)とおいたときに,wがzの全域でコーシー・リーマン方程式(∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂x)を満たすことを示し,微分係数を求めよ.(z=x+iy,iは虚数単位) と言う問題です. 解答を見てみると, cos(z)=cos(x)cosh(y)-isin(x)sinh(y) の加法定理の関係式を使い, u=cos(x)cosh(y) v=-sin(x)sinh(y) したがって, ・∂u/∂x=-sin(x)cosh(y) ・∂u/∂y=cos(x)sinh(y)・・・I ・∂v/∂x=-cos(x)sinh(y) ・∂v/∂y=-sin(x)cosh(y)・・・II よって,コーシー・リーマン方程式を満たしている. となっていました. 疑問なのは,複素関数cos(z)の微分について調べているのに,IとIIでそれぞれcosh(y),sinh(y)の微分をしていることです. cosh(y)=cos(iy),isinh(y)=sin(iy) なので,これも複素関数の微分となり,ここでは使ってはいけないのではないのでしょうか? ほかの方法があれば教えてください.また, {cosh(y)}'=sinh(y),{sinh(y)}'=cosh(y) となる理由もよろしくお願いします.
- ベストアンサー
- 数学・算数