増加、減少

質問

微分、関数の値の増加、減少という範囲で分からないことがあったので質問します。

定義：　f'(x)＞ならば、f(x)はその区間で増加する。

問題：f(x)＝x^3－3ax^2＋3x－4について次の問いに答えよ。

f(x)がつねに増加であるように、aの値の範囲を定めよ。

この問題の解説に

f(x)がつねに増加であるための条件は、すべてのxについてf'(x)≧0である。　

と書いてあります。

自分は、なぜ定義とは違い、この場合は　＞　でなく　≧　を使うのか。いまいちよく分かりません；；

詳しく説明していただけると嬉しいです。

回答No.11

arrysthmia

＃９です。　＃１０さんの御指摘により、修正。

f ' (x) = 0 となる x は、集積しても構わないですね。
f(x) が（狭義）単調増加となる（必要十分）条件は、
{ x　|　f ' (x) = 0 } が 零集合 であること　かな。
ただの集積より、もっとギュッと詰まっていないと、
非狭義（単調増加）にはならないのでした。

陳謝して、訂正します。

回答No.10

tecchan22

＞＃９
＞f(x) が微分可能であれば、
＞f(x) が狭義単調増加であるための必要十分条件は、孤立点を除いてf ' (x) > 0 であることです。
＞このとき、区間内に f ' (x) = 0 となる x があっても構いませんが、そのような x は、集積してはいけません。

これはおかしいのでは？
f(x)が微分可能ならば、f(x)が狭義単調増加であるための必要十分条件は、f ' (x)の任意の（部分）区間での積分値が正であることでしょう。
（　f(b)-f(a)=∫(a→b)f ' (x)dx　だから、ｆが狭義単調増加⇔任意の区間でのf ' (x)の積分＞０　）

たとえばf ' (x)＝１＋sin(1/x) （ただしｘ＝０のときは１とする）
であるような関数f(x)を考えると、ｘ＝０はf ' (x)＝０となるｘの集積点になるが、f ' (x)は任意の区間で積分値＞０より、狭義単調増加になるはずです。

回答No.9

arrysthmia

＞ 定義： f ' (x) > 0 ならば、f(x) はその区間で増加する。

まず、ここが変。
増加であるか否かは、微分不可能な関数についても定義できます。

普通の定義は…
　　a < b ならば f(a) < f(b) であることを 狭義単調増加、
　　a ≦ b ならば f(a) ≦ f(b) であることを 広義単調増加
と言います。
単に「増加」と言えば、通常は、「狭義単調増加」のことを指します。

f(x) が微分可能であれば、
f(x) が狭義単調増加であるための必要十分条件は、孤立点を除いて f ' (x) > 0 であることです。
このとき、区間内に f ' (x) = 0 となる x があっても構いませんが、
そのような x は、集積してはいけません。

微分可能な f(x) が、広義単調増加であるための必要十分条件は、
区間内で f ' (x) ≧ 0 であることです。

f(x) が、一次以上の（定数関数以外の）多項式であれば、
狭義単調増加であることと、広義単調増加であることは、同値です。

回答No.8

kuwaman091

No 2です。
（解説について）
高校の教科書では、
区間内にf'(c)=0となるxの値cがあっても、その他のxの値でf'(x)>0であえば、f(x)はその区間で単調に増加すると考えていました。

よって、すべてのxに対してf'(x)≧0を示せばOK。
上記の問題では、すべてのxに対してf(x)=0とならない（定数ではない）のは明らかですしね。

回答No.7

take_5

＞傾きが０の時は増加してないので、傾き０を含むと　常　に増加ではない気がするんですが・・・。

その場合も含めて、広義の単調増加という。
説明が面倒なので、下のＵＲＬをよく読む事。

http://blog.livedoor.jp/cfv21/math/monotone.htm

お礼

広義の単調増加ですか＠
勉強になります

回答No.6

sanori

＃１の回答者です。

＞＞＞
傾きが０の時は増加してないので、傾き０を含むと　常　に増加ではない気がするんですが・・・。

おっしゃるとおりです。
「常に増加」ではありません。
前回回答も、そういうことを言っています。

補足

常に増加でなければ、問題として成り立たないというか、答えが間違っているというか。。。　よくわからなくなってきました：

回答No.5

gekkouya

簡単のために
f(x)=x^3としましょう
f'(x)=3x^2
なのでf'(0)=0
ですが、その周辺では増加していますよね。
つまり
任意の正数eがあったとして
f(x+e)>f(x)
です。

一瞬だけf(a)=0
となるaが存在していても
常に増加し続けています。

f(0+e)-f(0)≧0
(eは0.000000000000000000000000000000000000001でも何でも良い)
ですよね？

これは常に増加しているといえませんか?

補足

ちなみに　f(0+e)-f(0)≧0　は　
　　　　　f(0+e)-f(0)＞0　ではないのですか？

たしかに常に増加してます＠＠

この問題についても聞きたいのですが、
関数が増加する区間、を求めよ。
y=x^2＋2x＋3
　　この答は、　x＞-1で増加　
　x≧-１で増加　ではこれはダメなのでしょうか？

回答No.4

take_5

この場合の増加は　f(x)が“単調増加”であることを意味している。
従って、問題の解説は正しい。

補足

単調増加！？　初めて聞きました；

回答No.3

Tiffa9900

定義：f'(x)>0 ならば、f(x)はその区間で増加する。
　　　↓
定義：f'(x)>0 ならば、f(x)はその地点(の付近)で増加する。

この定義は「ある地点において増加している」と言う事を意味していると思います。
f'(x)<0 ならば、逆に減少している。
f'(x)=0 ならば、増加も減少もしない傾き=0の地点となります。

ここで、問題中の「常に増加」をどう捉えるかによると思うのですが…

この問題の場合「減少せずにいる」という意味であるか、

もしくは、たとえ f'(x)=0となる地点があったとしても、その地点としては傾き=0となりますが、y=3のように傾き=0が続く関数ではないので、微小区間としては傾き=0の地点を含んでも増加しているから。
って事かな………

専門家ではありませんし、学生時代(十数年前)の記憶なので、参考意見程度にしてください。m(_ _)m

回答No.2

kuwaman091

解説が間違ってるのでは？