- ベストアンサー
関数
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
回答丸投げは禁止されているのでヒントだけ。 ある関数がある区間で単調増加というのは、考えている区間で、関数を微分したものが常に正の値を持つということです。 SAKO9623 さんがやったのは f(x) = x^3 - 3*a*x^2 + 3*b*x - 2 を微分するところまですね。 ｆ ' (x) = 3*x^2 - 6*a*x + 3*b これを ○^2 + △ という形に変形すれば ｆ ' (x) = 3*( x - a )^2 + 3*( b - a^2 ) --- (1) となります。これはx = a を軸とした下に凸の放物線ですから、x = a のときに最小値 3*( b - a^2 ) をとります。 もし問題が「全てのxで f(x) が単調増加となる a, b の範囲を求めよ」というものならば、f ' (x) がどのような x に対しても正であればいいので、f ' (x) の最小値 3*( b - a^2 ) が正であればいいことになります。つまり、 b > a^2 というのが求めるa, b の範囲です（横軸に a、縦軸に b をとったとき、b = a^2 という放物線より上側の範囲にある領域になります）。 しかしこの問題は「区間 0≦x≦1 で常に増加する」という条件がついているので、上の a, b の範囲も解の中に含まれますが（ 区間 0≦x≦1 だけでなく全ての x について成り立つので）、それより広い範囲が解になるという予想がつきます。ではそれはどうやって求めるのでしょうか。 「区間 0≦x≦1 で f (x) が常に増加する」というのは、f ' (x) が取りうる形として、以下の３つの場合が考えられます。 f ' (x) ・ ↑ ・ ・ │ ・ ・ │ ・ ─ ・ ─ ・──┴→ x ・ 0 1 （１） x ≦ 0 の領域で f ' (x) が最小となり、0 < x では 0 < f ' (x) f ' (x) ・ ↑ ・ ・ │ ・ ・│ ・ ───┴ ・─┴→ x 0 1 （２） 0 < x < 1 の範囲で f ' (x) が最小となり、その範囲で 0 < f ' (x) f ' (x) ↑・ ・ │ ・ ・ │ ・ ・ ───┴── ・─ ・ → x 0 1 ・ （３） 1 ≦ x の領域で f ' (x) が最小となり、x < 1 では 0 < f ' (x) まず（１）のような状況になるのは、 式(1)の形を見れば分かるように、a ≦ 0 の場合です（放物線の軸は x = a になります）。このとき、ｆ ' (0) = 3*a^2 + 3*( b - a^2 ) = 3*b > 0 となればよいので、0 < b が解になります。つまり a ≦ 0 かつ 0 < b --- (2) というのがこの場合の解の範囲です。 一方、（２）の状況になるのは、0 < a < 1 の場合です。f ' (x) の最小値は、式(1)の形を見れば分かるように、3*( b - a^2 ) ですから、これが正であるためには、０ < 3*( b - a^2 ) つまり、 a^2 < b が成り立つときです。つまり 0 < a < 1 かつ a^2 < b --- (3) というのがこの場合の解の範囲です。 最後に、（３）の状況になるのは、1 ≦ a の場合です。このとき、0 < ｆ ' (1) となれば良いわけです。その条件式を ◎ < b とすれば 1 ≦ a かつ ◎ < b --- (4) というのがこの場合の解の範囲です。 したがって、問題文の解 (a, b ) の範囲は、上式(2)-(4)の３つの範囲をつなぎ合わせた領域になります（ a の範囲で分けているので各範囲は重なりません）。横軸に a、縦軸に b をとったグラフを描いて a, b の範囲を考えると分かると思います。
その他の回答 (1)
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
条件反射で微分するからわからんのじゃ。まずはグラフを書くがよい。
関連するQ&A
- 平均値の定理のcをbの関数と考えると・・・
平均値の定理： a < b とし、f(x) を閉区間 [a, b] で連続で、開区間 (a, b) で微分可能な関数とする。このとき開区間 (a, b) 上に、ある点 c が存在して {f(b)-f(a)}/{b-a}=f '(c) が成り立つ。 これから述べる質問のために、少し設定や記号を変更します。 関数f(x)は[0,∞)で連続で、(0,∞)で微分可能。 また簡単のために、f(0)=0 と設定します。 ここで、微分可能関数f(x)において、区間[0,x]（ただしx>0）を考えると、 {f(x)-f(0)}/{x-0}=f '(c) つまり、 f(x)/x=f '(c) となるcが 0<c<x の範囲に存在します。 cは一意的に取れるとは限りませんが、とりあえず一つのcを取ります。 ここで、xに対して、cが取れると考えて、c(x)と書きます。 xを動かすと、c(x)は連続関数となるようにできるのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 「次の関数が全ての点で微分可能となるためのa,b」
数学の問題なのですが、いくら考えても解き方がわかりません。 どなたか、教えていただけますでしょうか。 以下は問題です 次の関数がすべての点で微分可能となるためのa,bの値を求めよ f(x)= 2ax^2+bx+1 (x<-1) bx^2+ax-5 (x≧－１)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- この２問の解説をお願いします
１．逆関数の存在と微分可能性が保証されていれば、逆関数の微分係数は合成関数の微分法の公式から求めることができる。 f(x)=x^3＋x＋1とし、g(u)を g(f(x))=x が常に成り立つ関数とする。この式の左辺と右辺それぞれについて、x=1での微分係数を考えることで、g(u)のu=3での微分係数を求めなさい。 ２．直線y=kxがy=e^xに接しているとする。 (直線の傾きk=e、接点のx座標=1) 接点のx座標をαとおく。g(x)=e^x-kxとおく。 (a)区間(-∞、α]でg(x)は狭義の単調減少であることを、区間(-∞、α)でのg(x)の微分係数の符号を調べることでしめしなさい。 (b)区間[α、∞)でg(x)は狭義の単調増加であることを、区間(α、∞)でのg(x)の微分係数の符号を調べることでしめしなさい。 (e^xが(-∞、∞)で狭義の単調増加であることは前提とする) 長文になってしまい申し訳ありませんm(__)m どなたか解説お願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 増加関数？
[問] ｆ(ｘ)＝ｘ－sinｘ は閉区間[０,π/２]で増加関数であることを証明せよ。 １．閉区間[０,π/２]で連続で、開区間(０,π/２)で微分可能でかつｆ'(ｘ)＞０ならば、ｆ(ｘ)は閉区間[０,π/２]で増加関数である。 ２．ｆ(ｘ)がある区間で微分可能ならば、ｆ(ｘ)はその区間で連続である。 この２つの定理を利用して、 開区間(０,π/２)で微分可能を求めて、かつ、左端０で右側微分可能、右端閉区間π/２で左側微分可能。 ・・・・・・(ア) よって閉区間[０,π/２]で微分可能となり、連続となる。 次にf'(ｘ)＞０を求めて増加関数となる。 このように解いていこうと思うのですが、肝心の最初の(ア)の解き方が分かりません。どのようにすればいいのでしょうか？ また、この方針はあっているのでしょうか？よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 単調増加関数とは何か？
よく問題をやっているときに「単調増加関数」とか、「増加関数」なるものが出てきて、それが問題の解法に重要に絡んでいる事があるのですが、一体「単調増加関数」とか、「増加関数」や「減少関数」というのは、どういう意味なのでしょうか？ 予想では、関数f(x)の微分値f'(x)が０より大きければ増加関数なのだと思いますが、自信もないしそれだけでは単調増加関数の説明ができません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 第３次導関数は，何を表していますか？
ａ，ｂ，ｃ，ｄ を ０ でない実数として，ｙ＝f(ｘ) を３次以上の多項式、例えば ｙ＝f(ｘ)＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ のとき，上式を微分した導関数 ｙ'＝f'(ｘ) は，曲線の接線の傾きを表し、更に微分した第２次導関数 ｙ"＝f"(ｘ) は，曲線の一部を円と見なした曲率円のほぼ曲率を表していますが、第３次導関数は，曲線の何を表していますか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 関数ｆ（ｘ）は閉区間I＝（a,b）で単調増加である（－∞＜a＜b＜∞）
関数ｆ（ｘ）は閉区間I＝（a,b）で単調増加である（－∞＜a＜b＜∞）、ここで、B：＝inf[a＜x＜b]f(x) (≧－∞)とおく。 B＝－∞であれば、lim[x→a＋0]ｆ（ｘ）＝－∞であることを示してください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
丁寧に答えていただき、感謝しております。これから解き直ししてみたいと思います。回答ありがとうございました。