- ベストアンサー
関数の増加・減少の問題
次の関数の増減表を完成し、増減をいえ。という問題で途中までといてみたのですが、答えがよくわかりません。 ※(2)は二乗の意味です。 f(x)=-x(2)+4x+2 (i)微分して接線の傾きを導く式 f'(x)=-2x+4 (ii)f'(x)=0を解いて、傾きが0となるxの値をもとめる -2x+4=0 2(-x+2)=0 -x+2=0 x=2 この式で↑と↓どちらがあっているのでしょうか? -2x+4=0 -2(x-2)=0 x-2=0 x=2 また、なぜ-2x+4の式にまとめて(カッコ)をつけて、そのカッコがなぜ消えるのでしょうか? もし、↑ので当っているとしたら、 関数f(x)=-x(2)+4x+2は、x<2で増加,x>2で減少になりますか?
- meeg
- お礼率100% (19/19)
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数4
- みんなの回答 (4)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
(ii)f'(x)=0を解いて、傾きが0となるxの値をもとめる -2x+4=0 2(-x+2)=0 | | 両辺を2で割ると、(-x+2)=0 | ....0をどんな実数でわっても、0ですから | -x+2=0 x=2 -2x+4=0 | この式の両辺をいきなり2で割っても同じ -x+2=0 このテクニックは、方程式の係数が大きい、小数、分数の場合に時折使うよ。 2000x + 40000=0 x + 20=0 とか 0.1x +20=0 両辺を10倍 x + 200=0 とかね。 >カッコなんて使う人はいませんよ。とどなたかがかかれてますが、 こういう場合は、中学の解説にはあります。 例えば、2X^2+4X+2=0 なれてる人は、さっと両辺を2で割りますが、 解説などには、2(X^2+2X+1)=0 として、 X^2+2X+1=0 などという流れになっていたりします。
その他の回答 (3)
- 0lmn0lmn0
- ベストアンサー率51% (36/70)
f(x)=-(x^2)+4x+2 f'(x)=-2x+4 =-2(x-2)=0 と書いた方が良いです。 その内に、 f'(x)=2(x^2)-6x+4 =2{(x^2)-3x+2} =2(x-1)(x-2)=0 という形が出てきます。 このままで、x=1,2 とわかり、 xが -----1--------2----- f'(x)は 正、0、負、0、正 f(x)も / \ / と増減表を書かなくてもグラフの概形が、 分かる様になります。 >>この式で↑と↓どちらがあっているのでしょうか。 共にx=2 と算出されていて、 途中経過も正しいので、 どちらでもOKです。 -2x+4=0 を見ただけで、x=2 と判断できるのがBESTです。 >>カッコがなぜ消えるのでしょうか。 -2(x-2)=0 (x-2)=0 (1) x-2=0 (2) (1)(2)は同じ意味です。 同じ意味ならば、カッコがない方が自然です。 されど、 f'(x)=-2x+4 =-2(x-2)=0 と係数もカッコも残し置く方が、 x ---------2----- f'(x) 正、0、負 f(x) / \ と分かり易く、お馴染みの上に凸の放物線となります。 >>もし、↑ので当っているとしたら。 ↑も↓も正しいのだから、 増減も同じです。
お礼
丁寧に解説・回答、書き方まで教えてくださりありがとうございました。とてもよくわかりました。
- Peace2007
- ベストアンサー率57% (16/28)
失礼かと思いますが一応聞いておきます。 本気で言ってるんですか? 増減表を使ってるってことは最低でも中学卒業してますよね? こんなの小学生でもわかることじゃないですか。 結論から言うと上と下どっちでもOKです。 そもそも-2x+4=0の方程式を解けといわれて カッコなんて使う人はいませんよ。普通は -2x+4=0 2x=4 x=2 こうやって解きます。 >-2x+4の式にまとめて(カッコ)をつけて、 >そのカッコがなぜ消えるのでしょうか? これはそういうものだからとしか答えられません。 単にどちらも2の倍数なので2で括っただけです。マイナスはオマケです。 最後のは実際に増減表を書いてみるとわかります。まぁ、そんなこと しなくてもf(x)に直接代入していけばすぐにわかるんですけど。 x=2のとき傾きがゼロになるわけでとりあえず2の前後1と3を代入。 f(1)´=-2+4=2>0 f(3)´=-6+4=-2<0 よって xが2より大きいとき傾きは負、つまりf(x)が減少します。 xが2より小さいとき傾きは正、つまりf(x)が増加します。 というかf(x)を平方完成すれば一発じゃないですか。 f(x)=-x^2+4x+2 =-(x-2)^2+6 この時点でグラフを描けばどんな式なのかすぐわかりますよ。
お礼
本気で言っています。 丁寧に回答してくださり、ありがとうございました。
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
>この式で↑と↓どちらがあっているのでしょうか? どちらもあってる。 >また、なぜ-2x+4の式にまとめて(カッコ)をつけて、 >そのカッコがなぜ消えるのでしょうか? 両辺を -2 で割っているから。たいした意味はない。 >もし、↑ので当っているとしたら、 ちゃんと f(x) の導関数の正負を検証すれば何でも OK
お礼
回答ありがとうございました。
関連するQ&A
- 関数の増加と減少
関数f(x)=x2乗-4xの増加・減少を調べグラフにする。 f(x)=x2乗-4xを微分すると、 =2x-4になるまでがわかるのですが、ここから先のやり方がわかりません。 =2(x-2)らしいですがなぜ「2x-4→2(x-2)」こうなるのかわかりません。 また、微分までならできるのですが、「-3(x2乗-2)→-3(x+1)(x-1)」 「3x2乗+6x→3x(x+2)」 どうやって→の数をだすのですか? y=0の解のだしかたもわかりません。 説明が超へたくそでごめんなさい。 お恥ずかしいながら高校2年です。この馬鹿な高2でもわかるように教えていただければありがたいです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 単調増加関数とは何か?
よく問題をやっているときに「単調増加関数」とか、「増加関数」なるものが出てきて、それが問題の解法に重要に絡んでいる事があるのですが、一体「単調増加関数」とか、「増加関数」や「減少関数」というのは、どういう意味なのでしょうか? 予想では、関数f(x)の微分値f'(x)が0より大きければ増加関数なのだと思いますが、自信もないしそれだけでは単調増加関数の説明ができません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分係数と導関数(数学II)
お世話になっております。数学IIの微積の入り始めからの質問です。 どうも、極限値から微分係数を定義するあたりから、掴み損ねているのですが、まず、微分係数を図形的に捉えて、これを任意の曲線上の点上の接線の傾きを表すこと。 導関数について、これを定義通りに公式から導く。次いで導関数f'(x)のxに色々な値aを代入すると、元の関数y=f(x)のxが限り無くaに近付く時の平均変化率つまり微分係数になる。など色々説明されていますが、始めグラフで説明されていたのが、極限値あたりから途端に言葉だけの説明になり、当初平均の速さと瞬間の速さをうまく関数に対応させていた考えが、途中で途絶えてしまった感があります。そこで、単純な導関数から微分係数を求める問題をグラフから捉えてみようと図に落としてみました。 例題 関数f(x)=x^2-4xのx=0,3における微分係数を求めろ。 解 f'(x)=2x-4 が与式の導関数であるから(ここは機械的に計算しました)、 f'(0)=-4 f'(3)=2 微分係数は接線の傾きであること、接線の定義上放物線と交わるような直線とはならないし、また、微分係数はxが限り無く0または3に近付くときの平均変化率の値であることを考えると何となくですが、添付画像のようになりました。何でも良いのでアドバイスいただけると嬉しいです。 宜しくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 増加関数?
[問] f(x)=x-sinx は閉区間[0,π/2]で増加関数であることを証明せよ。 1.閉区間[0,π/2]で連続で、開区間(0,π/2)で微分可能でかつf'(x)>0ならば、f(x)は閉区間[0,π/2]で増加関数である。 2.f(x)がある区間で微分可能ならば、f(x)はその区間で連続である。 この2つの定理を利用して、 開区間(0,π/2)で微分可能を求めて、かつ、左端0で右側微分可能、右端閉区間π/2で左側微分可能。 ・・・・・・(ア) よって閉区間[0,π/2]で微分可能となり、連続となる。 次にf'(x)>0を求めて増加関数となる。 このように解いていこうと思うのですが、肝心の最初の(ア)の解き方が分かりません。どのようにすればいいのでしょうか? また、この方針はあっているのでしょうか?よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分についての質問です
1、関数f(x)=3x^2の表す曲線上の点(1,3)における接線の傾きを求めよ。 2、関数f(x)=x^2の表す曲線上の点A(a,a^2+1)における接線の傾きが6のとき、aの値を求めよ。 3、関数f(x)=x^2-xについて、xが1から3まで変わるときの平均変化率とx=aにおける微分係数が 等しくなるように、aの値を定めよ。 授業を休んでいたのでわかりません。 途中式もお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- ある関数が微分可能かどうかを調べる問題がわからない
関数 f(x)=|x(x-2)| が x=2 において微分可能であるかどうか調べよ という問題がわかりません。 グラフを描くと微分可能ではないように思うのですが、 (x=2に、右から近づいたときと左から近づいたときの、その点における接線の傾きが等しくないように思える) 計算で確かめることができません。 確かめられないというのは、やり方がわからないという意味です。 おそらく、 lim(h→2+0){ f(2+h)-f(h) / h } lim(h→2-0){ f(2+h)-f(h) / h } の値を求めて比較すればいいのでしょうが、 右側・左側からの極限がよく理解できていないため、どのような操作をしてよいかわかりません。 右側・左側からの極限まで戻ってやり直してみたのですが、いろいろ考えているうちに混乱してしまいました。 どなたかご教示いただけると幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
丁寧に解説・回答してくださり、ありがとうございました。 おかげで、とてもよくわかりました。