鏡

質問

2つの鏡を直角に置くと自分の像が全部で2つでき、鏡を120度の関係で置くと自分の像は6つできるそうなのですが、後半部が理解できません。

わかる方がおられましたら、ご説明いただければと思います。どうぞ宜しくお願いします。

回答No.1

sparrow32h · ベストアンサー

90°に置いた鏡でできる像は自分自身と重なるものも含めて4個です。なぜなら、2枚の鏡に1回ずつ反射してできる像は180°回転したものとなり、2回ずつ計4回反射して自分自身と重なるからです。
120°の場合は1回ずつ反射すると240°の回転なので、ちょうど360°回転することはできません。そこで、3回ずつ計6回反射し、2回転して自分自身と重なるのです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
単純に単位円で、たとえば±30度の位置に鏡M1とM2、0度の位置に点をプロットしたとき、
0度→M1→60度→M2→240度→M1→180度→M2→120度→M1→300度→M2→0度
のように考えればいいんですね。
そうすると、前半部の直角のケースは、本の誤植なのでしょうか？
とにかく、ありがとうございました。

回答No.3

sparrow32h

Ishiwaraさんのご指摘のとおりです。
幾何学的な写像が6個できる、というだけでそれが全部見えるわけではないことをうっかりしていました。
360/2k または 360/(2k-1) の角度の場合、近いほうの鏡から順に反射していくと k回、遠いほうの鏡から順に反射していくと (k-1)回反射した時点で次の鏡の裏側に回ってしまうので、それ以上の像ができません。そこで、どちらも (2k-1)個（実体は別）の像ができることになります。

お礼

再投稿ありがとうございました。
“「有限群」村の冒険”という本の149ページに書いてあった文だったのですが、わからないのであきらめることにしました。。。
お手数をおかけして、申し訳ありませんでした。

回答No.2

Ishiwara

向かって右の鏡に映った最初の像をＡ１とします。右の鏡の中にある左側の鏡によってＡ１の像Ａ２が作られます。以下無限にできるはずですが、先へ進むと、最初の右の鏡の世界に入らなくなるので、有限個です。同様に左側でもＢ１、Ｂ２‥が作られます。ここで「見える」とは自身から見える、という意味でなく、自身の部屋にいる第３者が自由に歩き回って見ることができる、という意味です（このことも定義が必要です）。

９０度の場合についてすべて調べると、自身・Ａ１・Ａ２・Ｂ１・Ｂ２の合計５個だけです。９０度が正確であれば、Ａ２とＢ２は同じ位置に同じ形で見えますから、これを１個と数えるか２個と数えるかは、定義しておく必要があります。

１２０度の場合
(1)自身が左右の鏡と等距離にいれば、自身・Ａ１・Ａ２・Ｂ１・Ｂ２が見えます。Ａ１とＢ２、Ｂ１とＡ２は、それぞれ同位置ですが向きが違います。
(2)自身が右の鏡に近いところにいれば、自身・Ａ１・Ｂ１・Ｂ２だけが見えます。Ａ２は見えません。
(3)６つできる、という意味は、私にも理解できません。
ホンモノの鏡を使って確認されてはどうでしょうか。

お礼

ご回答ありがとうございます。
私も質問した当初は、Ishiwaraさんのように現実の鏡を想像していたのですが、sparrow32hさんの回答を読んでみて、質問文にある文章が載っている本の文脈を今一度考えたところ、sparrow32hさんのおっしゃる幾何学的写像のほうが適切だと思い、納得してしまいました。まだもやっとしてますけど。

Ishiwaraさんの回答の120度の(2)のケースは、以下のように考えているということですね。
右の鏡M1を60度、左の鏡m1を300度においたとすると、
M1の中に映ったm1であるm2およびm1の中に映ったM1であるM2が
180度の位置に見える。(ただしM2とm2の向きは逆)
このとき、M1に映った自分の像A1が 60度 < A1 < 90度 の範囲にあると、
m2にはA1の像は映らないので、もともとの自分の位置xが
M1に近すぎる(30度 < x < 60度)と、A2が見えない。

ありがとうございました。