等比数列の和の問題

質問

を解きました。計算過程に誤りがないか見て頂きたいです。
8
Σ(2^(k+1)-2^k)
k=0
わかりづらいとは思いますが、シグマの右は２のk+1乗から２のk乗を引いたものです。
以下、当方の計算過程。。

8
Σ(2^(k+1))-
k=0
8
Σ2^k
k=0

9
Σ2^k-
k=0
0
Σ2^k-
k=0
8
Σ2^k
k=0
((1*2^10)-1)/2-1 - 1 - ((1*2^9)-1)/2-1
=(1024-1) - 1 - (512-1)
=1023-1-511
=511

2^k+1の処理の方法がわからなかったのですが、紙に書いてみると要は2^9から2^0を引いたものと同様のような気がしたので上のように解きました。

回答No.1

agthree · ベストアンサー

式展開の下から4行目の
((1*2^10)-1)/2-1 - 1 - ((1*2^9)-1)/2-1
の部分の"/2"がそれぞれ余計かと思いますが、それ以降の式展開では"/2"が抜けていて答えも合っていますので、下から4行目だけ記述ミスされたのでしょうか。記述ミスであればこれでよいと思います。
なお、
9
Σ2^k
k=0
を
2^9+
8
Σ2^k
k=0
としてしまえば、
8
Σ2^k
k=0
が消えて
2^9-2^0=512-511=511
となり、Σの計算をしなくて済むのでスマートになります。

お礼

記述ミスをしておりました。すみません。
正しくは、公式(ar^(n+1)-a)/(r-1)より、
×　((1*2^10)-1)/2-1
○　((1*2^10)-1)/(2-1)
でした。
あと、なるほどスマートな計算。。思いつきませんでした。
有り難うございました。

回答No.4

yhposolihp

>> 要は2^9から2^0を引いたものと同様のような気が。
その通りです

>> Σ(k=0,8)[2^(k+1)-2^k]

=[2^1-2^0]
+[2^2-2^1]
+[2^3-2^2]
+[2^4-2^3]
+[2^5-2^4]
+[2^6-2^5]
+[2^7-2^6]
+[2^8-2^7]　（全部書かなくていいですが、）
+[2^9-2^8]　項が相殺して、残るのは２項なんで、

=2^9-2^0=512-1=511　　　　。

お礼

ご回答有り難うございました。

回答No.3

noname#75273

ANo.2です。

Σ [k = 0 ～ 8] (2^(k+1))
= Σ [k = 0 ～ 9] 2^k - Σ [k = 0 ～ 0] 2^k
の計算は間違えだと思います。

の私の書き込みは撤回です。私が計算ミスしてました。この計算はあっています。
質問者（redhat_001さん）に混乱を招くような、書き込みをして申し訳ありませんでした。

ANo.2 はスルーでお願いします。

お礼

とんでもございません。
ご連絡有り難うございました。

回答No.2

noname#75273

Σ [k = 0 ～ 8] (2^(k+1))
= Σ [k = 0 ～ 9] 2^k - Σ [k = 0 ～ 0] 2^k
の計算は間違えだと思います。

Σ [k = 0 ～ 8] (2^(k+1))
= Σ [k = 0 ～ 9] (2^(k+1)) - 2^(9 + 1)　　です。

また、Σ [k = 0 ～ 9] とする理由がわかりませんが・・・。たぶん、2^k に変形させたのでしょうか。
もし、2^k に変形させたいのであれば、

Σ [k = 0 ～ 8] (2^(k+1))　　　2^(k + 1) = 2 * 2^k なので、
= 2 * Σ [k = 0 ～ 8] 2^k

補足

申し訳ありません。ちょっと理解出来ていないのですが。。
2^(k+1)のままだと、公式(ar^(n+1)-a)/(r-1)で和の計算が出来なかったので、まずは2^kの形にしたいと思いました。次に、もし2^(k+1)だと、紙に書き出したところ、k=0～8のときに値は
2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8 + 2^9
となると思います。これは、
(2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8 + 2^9) - 2^0
と等しいかなと思ったので、
9
Σ2k -
k=0
0
Σ2k
0
として公式に代入して和を求めたのですが、やはりおかしいでしょうか。