数列

質問

an=3+(n-1/Σ/k=1)(2^(k-1))

見づらくてすみません
n-1はΣの上、k=1はΣの下にあるものとします。
この解は
2+2^(n-1)
となるんですが、なぜこの解になるんですか？

Σの上はn-1となってるので、そのままkに代入すると
2^(n-2)となると思ったのですが・・・
計算過程が省略されてるのでわかりません・・・

どう計算したらn-1になるのか、わかる人回答お願いします

回答No.5

lick6 · ベストアンサー

#1です。
補足にある疑問ですが、　k - 5 , k - 10 としてしまっては初項が変わってしまいますよね？
2,4,8,16 の和と 1/4,1/2,1,2 の和は違うのと同じことです。

お礼

問題を解くことができました。
わざわざありがとうございます。

回答No.4

killer_7

> 初項1，公比2，項数n-1だけで答えが出るということは
> k-1乗はどこに関係してるんですか？
> もし、この問題が
> an=3+(n-1/Σ/k=1)(2^(k-5))
> でも
> an=3+(n-1/Σ/k=1)(2^(k-10))
> でも答えは同じと言うことですか？

なぜ「初項1，公比2，項数n-1」なのか，
ということをちゃんと考えていれば分かるはずですよ．

> an=3+(n-1/Σ/k=1)(2^(k-5))
や
> an=3+(n-1/Σ/k=1)(2^(k-10))
なら，初項が1にはならないでしょう？

お礼

すごいわかりやすいです
初項と関わってたんですね、その部分は・・・
ありがとうございました

回答No.3

jamf0421

等比級数の公式は、分母が1-r(公比）で、分子が初項ｘ（1-r^m)です。ここでmは項数です。今の質問者さんの例ではkが１から始まってn-1で終わりますからmにはn-1が入ります。
等比級数の公式は、和をSとしたとき、それに公比rをかけてrSを作り、rSとSの差をとれば出てきます。

お礼

あくまで1からn-1までなんですね。
そこがひっかかってたんです!!
わかりました
ありがとうございました

回答No.2

killer_7

Σの部分は，
初項1，公比2，項数n-1の等比数列の和だから，
1*(2^(n-1)-1)/(2-1)=2^(n-1)-1
ですよ．

お礼

あ、すみません
わかりました；
ありがとうございました

補足

初項1，公比2，項数n-1だけで答えが出るということは
k-1乗はどこに関係してるんですか？
もし、この問題が
an=3+(n-1/Σ/k=1)(2^(k-5))
でも
an=3+(n-1/Σ/k=1)(2^(k-10))
でも答えは同じと言うことですか？

回答No.1

lick6

初項 a 公比 r の等比数列の第n項までの和は
Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)
で表されますよね。
ここで大切なのが r^n の n の意味。
これは項数がいくつあるかということに関係しています。
今回の問題では k = 1 から k = n - 1 でその項数は n - 1 ですよね。
k - 1 は全部が -1 されるという意味で項数には関係ありません。
よく間違えてしまう点なので気をつけてください。