制御工学 定常位置偏差について

質問

制御工学の定常位置偏差について分からないことがあります。
フィードバック制御系で、フィードバックは1のとき、一巡伝達関数G(s)が、
G(s)=k/(s^2+as+b) (k,a,bは定数)　で表されるとします。
このとき、定常位置偏差が存在する条件は、
閉ループ系伝達関数G(s)/(1+G(s))=k/(s^2+as+b+k) が安定、つまりa>0,b+k>0
とあります。

そして、定常偏差E(s)=U(s)/(1+G(s)) (U(s)は入力)
となるので、単位ステップ入力を与えたときの定常位置偏差は、
lim[s→0]sE(s)=lim[s→0]1/(1+G(s))=lim[s→0](s^2+as+b)/(s^2+as+b+k)
=b/(b+k)
となり、閉ループ系伝達関数の安定条件a>0,b+k>0を満たしていないときでも、
例えばa=-1 のときでも定常位置偏差は存在しているように思えます。

これはどう解釈すればいいのでしょうか。
長文で分かりにくいかと思いますが、どうか宜しくお願いいたします。

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

ごめんなさい。誤植がありました。
正しくは、

lim[t→∞] f(t) = lim[s→0] s*F(s)
ていう定理が成り立つのは、
s*F(s)の全ての極が左半平面にあるときだけです。

「s*F(s)の全ての極が左半平面にある」という条件なんで、「F(s)そのものの極が左半平面にある」という条件よりはちょっとだけ緩いですね。

お礼

回答ありがとうございます。
しかし、なぜ
lim[t→∞] f(t) = lim[s→0] s*F(s)
が成り立つのがsF(s)の全ての極が左半平面にあるときだけなのでしょうか。
教科書ともにらめっこしたりしているのですが、極の実部が負、だという条件を
この定理が成り立つためにどこで使っているのか全く分かりません。
お手数ですが教えていただけないでしょうか。

回答No.3

guuman

ラプラス変換の本質を理解していないからそんな疑問がでる
わしの過去のラプラス変換の回答を見ろ

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4177014.html

ラプラス変換は実体はフーリエ変換なのだ
sの実部はフーリエ変換できない関数をフーリエ変換出きるように
設定する指数的減衰力なのだ
sを０に近づけるということはラプラス変換をフーリエ変換に近づけるということだ
指数関数的に絶対値増大する関数はフーリエ変換できないので
このときラプラス変換は意味をなくしてしまう

f(t)・ｅｘｐ（-σ・t）
のフーリエ変換がラプラス変換であり
σはsの実部なのだ

だから不安定なシステムにおいてs→０は許されない

なお、逆変換においても反時計回りの周回積分は右側に極を持っていてはならない

回答No.1

rabbit_cat

lim[t→∞] f(t) = lim[s→0] s*F(s)
ていう定理が成り立つのは、
F(s)の全ての極が左半平面にあるとき（つまり安定なとき）だけです。