制御工学・フィードバック制御系の問題です

質問

制御工学・フィードバック制御系の問題です
以下の問題がわかりません。
アドバイスお願いします。

C(s)=(k/s)+4,　H(s)=1,　P(s)=1/(s^2+3s-1)です。

(1)このシステムが安定となるkの範囲をも求めよ。
(2)D(s)=0とする。このシステムが安定となるkの値に対して、目標値が単位ステップ信号,および単位ランプ信号のとき、定常偏差をそれぞれ求めよ。
(3)R(s)=0とする。このシステムが安定となるkの値に対して、外乱が単位ステップ信号,および単位ランプ信号のとき、定常偏差をそれぞれ求めよ。

私が解いたところ、
(2)と(3)の答えがすべて0になってしまいました。さすがに答えがすべて0にならないと思い質問しました。

回答No.1

xpopo

１）まずオープンループ伝達関数G(s）を求める

　　G(s) = C(s)*[P(s)/(1 + P(s)H(s))]
= (k + 4s)/(s^2(s + 3)) (1)

　次に入力から出力への伝達関数　T(s)　を以下に求める

　　T(s) = Y(s)/R(s) = G(s)/(1 + G(s)) (2)

式(2)に式(1)を代入して整理すると、

　　T(s) = Y(s)/R(s) = (k +4s)/(s^3 + 3s^2 + 4s +k) (3)

　を得る。システムの安定性をRouth-Hurwitz stability criteriaを使って調べる；

　式（３）の分母（特性方程式）を整理して

s^3　　 1　　 　　　　 4
s^2 　　 3 　　 　　　 k
s^1 　　(12-k)/3 　　 0
s^0 　　 k 　 　　　　 0

以上の結果よりｋは　　0　=<　K　=<　12　を得る。

2)　D(s)＝０の時の定常偏差

　　最終値の定理を使います。

　　a)　単位ステップ信号入力の時の定常偏差；

　　　ess(t)＝lim(s→0)ｓ*(1/(1 + G(0))*(1/s)=1/(1 + ∞) = 0

　　b)　単位ランプ信号入力の時の定常偏差；

　　　ess(t)＝lim(s→0)s(1/s^2)/(1 + G(s))
　　　　　　=lim(s→0)1/(s + sG(s))
　　　　　　= lim(s→0) 1/(sG(s))
　　 = lim(s→0)(1/(s*(k +4)/(s^2(s +3)))
　　 = lim(s→0)((s +3)/(k +4s)
　　 = 3/k

３）　R(s)=　０　とした時の外乱　D(s)　が単位ステップ信号,および単位ランプ信号のときの定常偏差

　　入力R(s)がゼロですので　偏差　Ea(s)　を　D(s)　に対する偏差、即ち、
　　　　Ea(s)　＝　D(s)　-　Y(s)*C(s)　　　(4)
　　で考えます。
　　　　ここで、　Y(s)　を　D(s)　と　C(s)を使い、(　G(s)=1/(s(s+３））、　C(s)=　(4s + k)/s )

　　　　　　　　Y(s)　＝ G(s)/(　1 + G(s)C(s) ) *D(s)　　(5)

と求めます。
　　　式(5)を式(4)に代入して整理すると、

　　　　Ea(s)　=　（1　-　G(s)/( 1 + G(s)C(s) ) )*D(s) (6)

この式(6)にG(ｓ）とC(s)の伝達関数を代入して整理して

　　　　Ea(s)　＝　（s^3 + 3s^2 + 3s + k)/(s^3 + 3s^2 + 4s + k) *D(s)　 (7)

　　を得る。

　　a)　単位ステップ信号入力の時の定常偏差；

　　ess(t)＝lim(s→0)ｓ*（s^3 + 3s^2 + 3s + k)/(s^3 + 3s^2 + 4s + k)*(1/s)
　　　　　　=　1

　　b)　単位ランプ信号入力の時の定常偏差；

　　　ess(t)＝lim(s→0)s*（s^3 + 3s^2 + 3s + k)/(s^3 + 3s^2 + 4s + k)*(1/s^2)
　　　　　　　=　∞