図形の問題です

質問

すいませんが、先ず次の図形を書いてみてください。（めんどいかもしれませんが）
四角形を書きます。左上の角から、反時計回りにそれぞれの角をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとします。そして、対角線の交点をＯとします。次にそれぞれの角の角度を言います。∠ＡＢＯ=５０°、∠ＯＢＣ＝３０°、∠ＯＣＢ＝４０°、∠ＯＣＤ＝３０°、
∠ＯＤＣ＝８０°、∠ＯＡＢ＝６０°、次にＯを囲む角が、∠ＡＯＢ=∠ＣＯＤ＝
７０°、∠ＡＯＤ＝∠ＢＯＣ＝１１０°，以上の角がわかっていて、求めるのは
∠ＯＡＤ＝ｘ°、∠ＯＤＡ＝ｙ°のｘとｙです。他にわかっていることはありません。長さも表示されていません。どこかの中学校か高校の入試問題だそうです。
どうしても答えが出ないので、皆さんよろしくお願いします。教えてください。

回答No.5

zabuzaburo · ベストアンサー

私もmoon00さんの図で考えましたが，
一辺と対角が等しいだけではまだ合同とは言えないので
yuyaerさんは悩んでいるのだと思います．
そこで何とか合同を示そうとしたのですが，
気が付くと図形が鉛筆でぐちゃぐちゃに（笑）．

そこで一応その線は諦めて……
いやあ，いい年して死ぬほど考えました．
かなり汚ない解き方かもしれませんが，これでどうでしょうか．
ｘが求まればｙは簡単なので，ｘに集中します．
「同一円周上」あたりが分からないかもしれないので，
遠慮無く質問を補足してくださいね．

まず，∠ＡＣＢの４０度を，
ＡＣ側に３０度，ＢＣ側に１０度に分けるような
直線を引きます．
次に，∠ＢＤＣの８０度を，
ＢＤ側に２０度，ＣＤ側に６０度に分けるような
直線を引きます．
この新しい２つの直線の交点をＰとし，ＰＤとＣＡの交点をＱとします．
実際にはＰは三角形ＯＢＣの内部に来ると思います．
すると∠ＰＤＣ＝６０度，
∠ＰＣＤ＝∠ＰＣＱ＋∠ＱＣＤ＝３０度＋３０度＝６０度
となります（というより，そうなるように補助線を引いた）．
したがって三角形ＤＰＣは正三角形であり，
∠ＰＣＤを二等分している直線ＣＡは，
Ｑにおいて線分ＰＤを垂直に二等分します．
いま，ＰとＡを結ぶと，三角形ＡＰＱと三角形ＡＤＱは
（ＡＱ共通，ＰＱ＝ＤＱ，∠ＡＱＰ＝∠ＡＱＤ＝直角により）
合同ですから，ｘを求めるには∠ＰＡＱを求めれば良いことになります．

この辺で，いったん流れを整理してください．まだ半分です．

さて，今∠ＣＰＤ＝６０度，∠ＣＢＤ＝３０度ですから，
∠ＣＰＤ＝２∠ＣＢＤとなり，
三点Ｂ，Ｃ，ＤはＰを中心とする円周上にあります．
(中心角＝２×円周角であり，
もしＢが円の内側にあれば角ＣＢＤは３０度より大きいはずであり，
外側にあれば３０度より小さいはずなので)．

したがってＰＢ＝ＰＣ＝半径から∠ＰＢＣ（＝∠ＰＣＢ）＝１０度となり，
∠ＤＢＰ＝∠ＤＢＣ－∠ＰＢＣ＝３０度－１０度＝２０度となります．
さらにＰＢ＝ＰＤ＝半径から∠ＰＤＢ（＝∠ＰＢＤ）＝２０度です．

さらに，ＰとＯを結びます．また，線分ＢＰのＰの端を少し延長してその端をＲとします．
∠ＤＰＲは二等辺三角形ＰＤＢの∠Ｐの外角であり，４０度です．
一方，小さい三角形ＯＰＱとＯＤＱは先ほどと同様に合同ですから，
∠ＯＰＱ（＝∠ＯＤＱ）＝２０度となり，
その結果∠ＯＰＲ（＝∠ＯＰＱ＋∠ＱＰＲ＝２０度＋４０度）＝６０度となります．
すると，∠ＢＡＯ＝∠ＯＰＲ（＝６０度）となるので，
四点Ａ，Ｂ，Ｐ，Ｏは同一円周上にあることが言えます．
ゆえに∠ＰＡＯ（＝∠ＰＢＯ）＝２０度となり，
これが求めるｘと等しいことは前半に述べました．

おーい...寝ないでくださ～い（笑）
せっかくなのできちんと理解して欲しいですから，
分からないところは何なりと追加質問してください．

しかし角度の問題でこんなに難しいのは初めて見ました．

お礼

いやーほんとに長いですね。でもちゃんと答えが出ました。文句無しです。本当にお手数かけました。他の回答してくださった方のは、途中でいきずまってしまうんですがどうでしょうか。もしよければ、また御回答ください。ほんと---------－－－－－－－－－－－－にありがとうございました。

回答No.8

moon00

補足です。
（５）で∠ＡＰＣを出すには、四角形ＡＢＣＰの内角の＝360、もしくは
△ＡＰＣの内角の和を用いています。
それと（６）の合同条件は私のミスでした。すいません。

解答方法は考えたのですが、このスレッドもあまりにも長くなっているし、
書くとかなり長くなるので、すいませんが止めておきます。

回答No.7

ryumu

いやはや、最初の私のでは完全には三角形ＤＯＡ（三角形ＡＢＯは間違いです）と三角形ＱＯＣは相似であることはいえませんでした。なんかおかしな気がしてみてみると回答いっぱい・・・
もういいのかな？？＾＾；
・・・というのは回答者として無責任ですので
ではあらためて（Ｐ、Ｑは私の定義で）・・・

重要なのは、三角形ＤＱＣが二等辺三角形（ＤＱ＝ＤＣ；∠ＱＤＣ＝８０、∠ＤＱＣ＝∠ＤＣＱ＝５０）であることです。

ここでＡＱとＤＣは平行でした（したがって、∠ＱＤＣ＝∠ＤＱＡ＝８０、∠ＱＡＣ＝∠ＡＣＤ＝３０です）。これより、三角形ＡＱＯと三角形ＤＣＯは合同であることになります（ＡＱ＝ＤＣ）。したがって、三角形ＤＯＡと三角形ＱＯＣは合同となり、答えが得られますね。

回答No.6

keroro

図形の作図
１、点AからBCに平行な線をひく。
２、辺CDを延長する。この時、１で書いた線に交わる点をPとする。
３、辺BDを延長する。この時、１で書いた線に交わる点をQとする。
４、辺BAを延長する。この時、２で書いた線に交わる点をSとする。
５、辺ADを延長する。この時、延長した点をD'とする。
ここから、解答。
∠APR=∠BCD=40+30=70なので、∠APD=180-70=110
四角形AODPの内角の和を考えると3∠OAP=360-(110+110+100)=40
三角形ABQの内角の和を考えると∠AQB=180-(50+100)=30
ここで、三角形ACDと三角形AQDについて考える。
この2枚の三角形の合わさった形(紙飛行機型)を考える。
この図形の性質(うる覚えですが)から∠CAD=∠QAD=20=X
よって、三角形AODから、Y=50
もし違っていたらごめんなさい。
ちなみに、三角形の相似の条件は
１、3組の辺の比が等しい
２、2組の辺の比が等しく、その間の角が等しい
３、2組の角がそれぞれ等しい
の3つです。

回答No.4

burgess_shale

moon00さんの図形を使わせてもらうと、直線CDPの延長線上にQを取ると∠APQは同位角の関係から∠APQ=∠BCD=40+30=70ですから、∠APC=180-70=110。
同様に同位角を考えると∠PAB=100ですから、∠OAP=100-60=40となります。後は三角形が合同であることを使って…

回答No.3

soba01

正確に図形を書いて測ってみると、Ｘは２０度，Ｙは５０度になりました。
ですが、それを堂やって解くんだといわれると、どう考えても中学生の知識だけじゃ出来ません。(本当は出来るのかもしれませんが)
お役に立てなくてすみません。

お礼

確かに僕も図形を書いてやって、測ってみるとそういう答えになりました。
問題は、出し方なんですよね。挑戦してくださってありがとうございました。

回答No.2

moon00

答えはｘ＝20、ｙ＝50 です。

作図と計算で求めるには
（１）設問に従って四角形を描く
（２）辺ＢＣに平行な線を点Ａから引く。
（３）辺ＣＤを延長して（２）の線と交わらせる。交点をＰとする
（４）ＡＰとＢＣは平行なのでそこから∠ＰＡＢが確定し、
　　　∠ＰＡＯも確定。
（５）同様に∠ＡＰＣも確定
（６）ここで△ＡＤＰと△ＡＤＯが合同（斜辺とその対角が同じ）
（７）（６）によりｘとｙが求められる。

文字だけでは説明は難しいですね。
分かっていただけるかな。
但し、この解答法が一番正しいという自信はありません。
おそらく他にもやり方があると思います。

補足

実際におっしゃられる様にやってみましたが、（５）からつまずいています。
∠ＡＰＣってどうやって出すんでしょうか？また（６）も、どうして合同ってわかるんでしょうか？
お手数ですが、説明していただければ幸いです。

回答No.1

ryumu

∠ＢＡＣを２等分する線を辺ＢＣへと書き、その交点をＰとする。線ＡＰとＤＣは平行ですね。線ＡＰと交線ＢＤの交点をＱとします。さらにＱからＣへと線を引くと、∠ＯＣＱ＝２０°，∠ＯＱＣ＝５０°となりますね。
一方、三角形ＡＱＯと三角形ＤＣＯは相似です。従って、三角形ＡＢＯと三角形ＱＯＣは相似です。これより、ｘ＝２０°、ｙ＝５０°となります。
・・・あってるかな？

補足

∠ＯＣＱ＝２０°、∠ＯＱＣ＝５０°ってどうやってだすんですか？
また、どうしても△ＡＢＯと△ＱＯＣは相似にはならないと思うのですが？
説明していただけると幸いです。