トランプをバラバラにしたとき、黒カードの固まりの個数は一般に何個?

質問

トランプをバラバラにしたとき、黒カードの固まりの個数は一般に何個だろうという素朴な疑問が思い浮かび、一般的に考えています。

黒石m個と、白石n個の合計m+n個を任意に並べます。
このとき、黒の固まりの個数を数えます。
たとえば、黒7個と、白4個を、

黒黒白白黒白黒黒黒白黒

のようにならべたとき、黒の固まりの個数は4です。

一般に、黒の固まりの個数がk(1≦k≦m)となるときの確率はどうなるのでしょうか？
さらに、期待値はどうなるのでしょうか?

黒 m 個を
X1 + X2 + ... + Xk = m　　ただし Xi ≧ 1 (i = 1, 2, ... k)
というような k 個のグループに分ける場合の数は　m-1Ck-1、さらに、白 n 個を一列に並べ、その両端および白と白の間（計 n + 1 ヶ所）から k ヶ所を選んで X1, X2,... Xk の順に黒石を入れる場合の数は　n+1Ck。
よって、黒の塊が k 個となる場合の数は、
m-1Ck-1×n+1Ck
これを(m+n)!で割れば確率が求まり、さらに期待値が求められるはずなのですがうまくいきません。

期待値は(n+1)m/(n+m)になるようなのですが。

回答No.1

kumipapa · ベストアンサー

Combinationを n Ｃ m = Ｃ (n,m) と書かせて頂きます。

黒の塊が k 個となる場合の数は Ｃ (m-1,k-1)・Ｃ (n+1,k)
全ての場合の数は Ｃ (n+m,m) ですね。
ですから、黒の塊が k 個となる確率は Ｃ (m-1,k-1)・Ｃ (n+1,k) / Ｃ (n+m,m)です。
ここで、N = min(m , n+1) として、k = 1,2,3,...,N です。
故に期待値は、
Σ[k=1,N] k・Ｃ(m-1,k-1)・Ｃ (n+1,k) / Ｃ (n+m,m)
ですが、
k・Ｃ(m-1,k-1)・Ｃ（n+1,k) ＝ (n+1)・Ｃ (m-1,k-1)・Ｃ (n,k-1) ＝ (n+1)・Ｃ (m-1,m-k)・Ｃ (n,k-1)
とかけることと、
Σ [k=1,N] Ｃ (m-1,m-k)・Ｃ (n,k-1) ＝ Ｃ(n+m-1,m-1)
となることを利用して計算します。

期待値は、
Σ[k=1,N] k・Ｃ(m-1,k-1)・Ｃ (n+1,k) / Ｃ (n+m,m)
= ((n+1) / Ｃ (n+m,m)) Σ[k=1,N] Ｃ(m-1,m-k)・Ｃ(n,k-1)
= (n+1)・Ｃ(n+m-1,m-1) / Ｃ (n+m,m)
= (n+1) m / (n + m)

お礼

すばらしいご回答に感謝いたします。ありがとうございました。