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余りと、余りの2乗の余りが一致する個数
まず、自然数Nで割ります。 すると、その余りは0~N-1までのN通りあります。 次に、その余りを二乗します。 そして、それぞれを再びNで割ります。 そのとき、余りが、前の余りと同じになる個数が2のM乗あります。 そのMは自然数Nを素因数分解したときの素数の種類の個数と一致します。 例えばN=10(=2×5)のときは二つの余りが一致するのは0、1、5、6の、4個存在します。これはNの素数の種類が2と5であるため、2の2乗と一致します。 しかし、なぜこのようなことがいえるのか、わかりません。また、もしかしたら、これはすべてにおいてはいえないかもしれません。 ですから、この証明、もしくは反例を教えていただけたらと思います。
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