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余りと、余りの２乗の余りが一致する個数
Tacosanの回答
- Tacosan
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10 を例にしているんだけど, 0, 1, 5, 6 を 2 と 5 のそれぞれで割ったときに余りを考えるのがはやいかと思いつつ: 任意の素数 p と整数 n≧1 に対して x^2 ≡ x (mod p^n) ⇔ x ≡ 0 or 1 (mod p^n) を証明しておいて中国剰余定理かな? 前半の証明は, n = 1 のときは x^2 ≡ x (mod p) より x^2 - x ≡ 0 (mod p) より x^2 - x = x(x-1) = ap (a ∈ Z) とおけて p が素数であることから x ≡ 0 or 1 (mod p) でなければ x(x-1) が p を因数として持たないこと, n > 1 のときは x^2 - x = x(x-1) = ap^n (a ∈ Z) とおいて x と x-1 がともに p^n を因数に持たないと仮定すると x と x-1 が p を公約数に持つことになって矛盾する, ってやるかな.
noname#48504
- noname#48504
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